Matematické Fórum

BakyX · 09. 04. 2011 21:56

Ah jáj..Zasa..

Majme postupnosť čísel 1,2,3,4,..,n.

Koľkými spôsobmi možno z tejto postupnosti vytvoriť postupku zloženú z "k" prvkov (k<=n), ak

Za postupku považujem napríklad 2,3,4 (k=3) alebo 7,8,9,10 (k=4), ale okrem toho za postupku považujem aj n-1, n, 1.

Ďakujem za pomoc..

A prosím o PODROBNÉ vysvetlenie, lebo kombinatorika mi nejde

OiBobik · 09. 04. 2011 22:06

↑ BakyX:

Doufám, že chápu správně zadání,

tedy, že "postupka délky k" je k-tice čísel taková, že každý člen této k-tice je o jedna větší, než předchozí, navíc ale za postupku uvažujeme i k-tice, které obsahují n, přičemž následující člen po n je 1 a pro další členy platí podmínka výše.

Jestli ano, pak jediné, co stačí k vyřešení úlohy, si tuto n-tici čísel představit v kruhu ("nahoře 1, po směru hodinových ručiček rostoucí, takže n je nakonec vedle 1") - zřejmě každým z čísel může začínat právě jedna taková k-tice (nehledě na velikosti k, ale za předpokladu, že k<=n), tedy existuje vždy n takových postupek.

BakyX · 09. 04. 2011 22:11

↑ OiBobik:

Takže chceš povedať, že riešením je $n$ pre všetky $k\le n$ ?

OiBobik

↑ BakyX:

Tak se ten příklad jeví.

Např.

dejme tomu, že n=5, k=1.

Kolik takových postupek existuje?

Odpověď: 5, každé číslo je samo o sobě takovou postupkou.

Co kdyby k=2?

Odpověď: Stále pět, ke každé postupce z minulého případu stačí přidat následující číslo a vznikne pět postupek délky 2. Problém by nastal u čísla 5, ovšem zde máme povoleno "sáhnout" po jedničce.

Co kdyby k=3?

Odpověď: viz odpověď u k=2.

...

Co kdyby k=5?

Zde to začně být zajímavé - odpověď je stále pět nebo 1, záleží totiž na tom, zda postupku "12345" považujeme za jinou, než "23451". Podle zadání bych řekl, že ano, navzdory tomu, že je složena ze stejných čísel.

Pozn.: dále to samozřejmě předpokládá takové věci, jako že $k \in \mathbb{N}, k>0$

BakyX · 09. 04. 2011 22:40 — Editoval BakyX (09. 04. 2011 22:45)

↑ OiBobik:

Usmerním to..

Máme postupnosť zloženú z prvých $n$ prirodzených čísel ( $n$ je jej posledný člen). Existujú len dve typy postupok:

a) $n, 1, 2, 3, ..., n-1$ , pričom daná postupka môže byť zložená z $2<k\le n$ členov

b) $1, 2, 3, ..., n$ , pričom daná postupka môže byť zložená z $2<k \le n$ členov.

Ako postupku je samozrejme chápaná ľubovoľná "vybrána" postupka z týchto postupiek, teda napríklad 1,2,3 a tak.

OiBobik · 09. 04. 2011 22:55

↑ BakyX:

Takto definované postupky jsou, upřímně řečeno, ještě mnohem víc matoucí, než jak jsou zadány na začátku.

případ a): zahrnuje v sobě tedy i postupku $n-1,n, 1, 2, 3, ..., n-2$ ? jestli ne, tak co je ten příklad "za postupku považujeme i n-1,n,1" v původním zadání?

Další otázka: Je účelem toto číslo spočítat pro konkrétní k, nebo sčítat počty pro jednotlivá k přes všechna k?

BakyX · 09. 04. 2011 23:01

Skúsme mať prvých 6 čísel (n=6) a robiť trojprkové postupky:

Celkovo máme tieto možnosti

612, 123, 234, 345, 456

Teraz skúsme robiť štvorprvkové. Celkovo máme tieto možnosti:

6123, 1234, 2345, 3456, nie však 4561

Teraz skúsme robiť päťprvkové. Celkovo máme tieto možnosti:

61234, 12345, 23456 , nie však 34561

Dúfam, že teraz to už chápeš. Skutočne mi je ľúto, že sa neviem vyjadriť. Prepáč

Stýv · 09. 04. 2011 23:06

↑ BakyX: pak je to n-k+2. pořád je to nějak podezřele triviální;)

OiBobik

↑ BakyX:

V tom případě "n-1,n,1" není podle nové definice postupka? Podle původní byla.

Tak já zkusím co nejlépe odpovědět podle této definice (nebo spíš uvedených příkladů):

Rozeberu opět postupky podle toho, kterým číslem postupka bude začínat; uvažuju nějaké fixní n a fixní k, 2<k<=n:

Postupka začínající číslem
n: Z podmínky $k \leq n$ plyne, že taková postupka lze vždy vytvořit.
1: Z podmínky $k \leq n$ plyne, že taková postupka lze vždy vytvořit.
Všechna m taková, že $m+(k-1)\leq n$ : Poslední číslo postupky bude m+(k-1), což je <=n, tedy lze vytvořit.
Všechna ostatní čísla: nelze vytvořit.

uvažovaných čísel m je $n-k$ (případ 1 jsme už rozebrali zvlášť, nezapočítáváme jej tedy do těchto), celkem tedy ke k je n-k+2 možností.

BakyX · 10. 04. 2011 22:51 — Editoval BakyX (10. 04. 2011 22:52)

Tak ďakujem..Ono je to príklad skôr zo života, preto nemusí byť ťažší hneď a riešenie môže byť jednoduché..

Len mám taký pocit..Ak n=k, nie je výsledok 2, ale 1.

OiBobik · 10. 04. 2011 23:06

↑ BakyX:

Jakto?
n=k

Podle všech specifikací sestavím postupky: <1,2,3,...n>, <n,1,2,3...(n-1)>

BakyX · 10. 04. 2011 23:13

↑ OiBobik:

Ah jáj..Sorry :D

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2011 21:56

Problémová kombinatorika

#2 09. 04. 2011 22:06

Re: Problémová kombinatorika

#3 09. 04. 2011 22:11

Re: Problémová kombinatorika

#4 09. 04. 2011 22:25 — Editoval OiBobik (09. 04. 2011 22:26)

Re: Problémová kombinatorika

#5 09. 04. 2011 22:40 — Editoval BakyX (09. 04. 2011 22:45)

Re: Problémová kombinatorika

#6 09. 04. 2011 22:55

Re: Problémová kombinatorika

#7 09. 04. 2011 23:01

Re: Problémová kombinatorika

#8 09. 04. 2011 23:06

Re: Problémová kombinatorika

#9 09. 04. 2011 23:14 — Editoval OiBobik (10. 04. 2011 00:05)

Re: Problémová kombinatorika

#10 10. 04. 2011 22:51 — Editoval BakyX (10. 04. 2011 22:52)

Re: Problémová kombinatorika

#11 10. 04. 2011 23:06

Re: Problémová kombinatorika

#12 10. 04. 2011 23:13

Re: Problémová kombinatorika

Zápatí