Matematické Fórum

↑ transdental:

Ahoj,

odpověď je: ne, neexistuje
(odpověď "ano" by byla poněkud podivná, vzhledem k tomu, že např. pro konvexní 2011-úhelník zřejmě neexistuje a o zadaném 2011-úhelníku není vlastně nic řečeno : )) )

Důkaz:

Představme si pro spor, že taková přímka existuje - pak rozděluje rovinu na dvě poloroviny (označme je "vlevo" a "vpravo"). Každá hrana 2011-úhelníku spojuje tedy jeden vrchol vlevo s jedním vrcholem vpravo. Zvolme si libovolný vrchol např. vlevo (označme jej příhodně vrchol 1) a vydejme se po jedné jeho hraně po obvodu 2011-úhelníka (ty značme rostoucími přirozenými čísly tak, jak je procházíme). Po projití 2010 hran se ocitáme na vrcholu 2011, který sousedí s vrcholem 1.
Protože předpoklad byl, že přímka protíná všechny hrany, pak platí, že vrcholy se stejnou paritou (tj. vlastností, zda jsou sudé či liché) jsou všechny v jedné polorovině (tedy konkrétně při našem značení liché vrcholy jsou vlevo, sudé jsou vpravo; nejlépe si nakreslit obrázek a je to hned jasné). Vrchol 2011 je vlevo a 1 je vlevo, hrana mezi vrcholy 2011 a 1 je tudíž taktéž celá nalevo od přímky, což je spor přímo s předpokladem, že přímka protíná všechny hrany. Čtvereček

POZN: Řešení předpokládá, že "protínat hranu" znamená "protínat hranu v jiném bodě, než vrcholu"! Tedy leží-li vrchol na takové přímce, nepočítá se to, jako by přímka protínala dvě hrany, které od daného vrcholu vedou. V opačném případě má úloha řešení, jak jsem byl kamarádem upozorněn.