Matematické Fórum

Lukee · 26. 05. 2008 15:47

Potřeboval bych zkontrolovat příklad.

Nalezněte bázi ortogonálního doplňku $W^\perp$ podprostoru W, je-li:
W = L(u, v), kde u = (1, 0, 1, 0) a v = (0, 1, 0, 1). (L je lineární obal)

Takže můj postup: Protože jsme tohle moc nestihli procvičit, vycházel jsem z této stránky. Vektory u a v jsou lineárně nezávislé, takže jsem doplnil dva vektory, abych získal bázi vektorového prostoru:

1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 1

Tyto vektory jsem postupně označil $b_1, b_2, b_3, b_4$ .

Teď jsem aplikoval Gramm-Schmidta:

$e_1 = b_1 = (1,0,1,0)$
$e_2=\alpha e_1 + b_2 \Rightarrow \alpha=-\frac{b_2e_1}{e_1e_1} = 0\nle_2=b2=(0,1,0,1)$
$e_3=\alpha e_1 + \beta e_2 + b_3 \Rightarrow \alpha=-\frac{b_3e_1}{e_1e_1} = -\frac12;\, \beta=-\frac{b_3e_2}{e_2e_2} = -\frac12\nle_3=-\frac12 e_1 - \frac12e2 + b_3 = (-\frac12, -\frac12, \frac12, \frac12)$

Tohle jsem ještě upravil na (-1, -1, 1, 1). Na ortogonalitě to nic nezmění, že ne? Takže e_3 = (-1, -1, 1, 1).

$e_4=\alpha e_1 + \beta e_2 + \gamma e_3 + b_4 \Rightarrow \alpha = 0; \beta=-\frac12; \gamma=-\frac14\nle_4=(\frac14, -\frac14, -\frac14, \frac14)$

To jsem opět upravil na e_4 = (1, -1, -1, 1).

Výsledná matice má tvar:

Báze ortogonálního doplňku jsou tedy vektory e_3 a e_4, tj. (-1, -1, 1, 1) a (1, -1, -1, 1).

Mám to, prosím, správně? :-)

roman0159 · 26. 05. 2008 19:47

Je to dobre. Ja osobne by som to robil asi radšej sústavami rovníc (keďže tie dva doplnené bázové vektory sú aj tak náhodné) ale proti gustu žiadny dišputát.. :)

Lukee · 26. 05. 2008 20:50

Díky, to jsem rád.

A jak bych, prosím, vypočítal parametrické a obecné rovnice podprostoru?

Kondr · 26. 05. 2008 21:10 — Editoval Kondr (26. 05. 2008 21:11)

Jen bych doplnil, že Gram-Schmidt je zbytečně složitý, protože nám dává nejen bázi ort. doplňku, ale dokonce ortogonální bázi ortogonálního doplňku.
Hledat ortogonální doplněk k vektorům v1,v2,... znamená řešit soustavu lineárních rovnic, kde složky v1,v2,... jsou koeficienty (plyne přímo z definice skalárního součinu).
Pokud tedy někdo zadá příklad jako "najděte ortogonální doplněk k vektorům (1,0,1,0),(0,1,0,1)", okamžitě lze napsat výsledek
{(a,b,c,d)|a+c=0,b+d=0}. Tím jsem snad zodpověděl otázku obecných rovnic. Přejít k bázi tohoto doplňku znamená soustavu vyřešit.
Pokud najdeme řešení w1,w2,..., je parametrickou rovnicí vektorová rovnice x=t1w1+t2w2+..., kde ti jsou parametry.

Lukee · 27. 05. 2008 15:06

Oká, díky. Zkusil jsem to na jiném příkladu. Zadání stejné, vektory:

W = L(u, v, w); u=(1,1,1,1), v=(1,1,1,0), w=(1,1,0,0).

Obecné rovnice podprostoru:

Teď to vyřeším. Jako parametr zvolím $x_1=t$ . Dále:

$t+x_2=0\nl x_2=-t$
$t-t+x_3=0\nl x_3=0$
$t-t+0+x_4=0\nl x_4=0$

Obecné řešení je (t, –t, 0, 0). Jako bázi ortogonálního doplňku můžeme vzít (1, –1, 0, 0). Tenhle vektor je kolmý na všechny předešlé vektory, takže by to mělo být správně. A parametrická rovnice bude vypadat takto?

$x_1=t_1-t_2$

Lukee · 27. 05. 2008 21:35

Stačilo by mi tedy odkejvat, že mám správně tu parametrickou rovnici, zbytek už snad není třeba kontrolovat :-).

Kondr · 29. 05. 2008 23:47

No určitě je ten prostor správně popsán, parametrická rovnice je
X=t(1,-1,0,0)
a obecné rovnice jsou 3, např:
x1+x2=0
x3=0
x4=0

hamii · 15. 01. 2012 17:26

Lukee napsal(a):
Potřeboval bych zkontrolovat příklad.

Nalezněte bázi ortogonálního doplňku $W^\perp$ podprostoru W, je-li:
W = L(u, v), kde u = (1, 0, 1, 0) a v = (0, 1, 0, 1). (L je lineární obal)

Takže můj postup: Protože jsme tohle moc nestihli procvičit, vycházel jsem z této stránky. Vektory u a v jsou lineárně nezávislé, takže jsem doplnil dva vektory, abych získal bázi vektorového prostoru:

1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 1

Tyto vektory jsem postupně označil $b_1, b_2, b_3, b_4$ .

Teď jsem aplikoval Gramm-Schmidta:

$e_1 = b_1 = (1,0,1,0)$
$e_2=\alpha e_1 + b_2 \Rightarrow \alpha=-\frac{b_2e_1}{e_1e_1} = 0\\e_2=b2=(0,1,0,1)$
$e_3=\alpha e_1 + \beta e_2 + b_3 \Rightarrow \alpha=-\frac{b_3e_1}{e_1e_1} = -\frac12;\, \beta=-\frac{b_3e_2}{e_2e_2} = -\frac12\\e_3=-\frac12 e_1 - \frac12e2 + b_3 = (-\frac12, -\frac12, \frac12, \frac12)$

Tohle jsem ještě upravil na (-1, -1, 1, 1). Na ortogonalitě to nic nezmění, že ne? Takže e_3 = (-1, -1, 1, 1).

$e_4=\alpha e_1 + \beta e_2 + \gamma e_3 + b_4 \Rightarrow \alpha = 0; \beta=-\frac12; \gamma=-\frac14\\e_4=(\frac14, -\frac14, -\frac14, \frac14)$

To jsem opět upravil na e_4 = (1, -1, -1, 1).

Výsledná matice má tvar:

$\left(\begin{array}{cccc} 1&0&1&0\\ 0&1&0&1\\ -1&-1&1&1\\ 1&-1&-1&1 \end{array}\right)$

Báze ortogonálního doplňku jsou tedy vektory e_3 a e_4, tj. (-1, -1, 1, 1) a (1, -1, -1, 1).

Mám to, prosím, správně? :-)