Matematické Fórum

Prcek · 10. 04. 2011 20:48

Hi all..
mam najst tylerov rozvoj a urcit obor konvergencie u tejto funkcie:
ln(1+x) v bode x=0
mam f'=1/(1+x)
f''=-1/(1+x)^2
f'''=2/(1+x)^3
f''''=6/(1+x)^4

Ako teraz urcim tylerov rozvoj?

PeetPb · 10. 04. 2011 21:32

↑ Prcek: zdravim mate na mysli taylorov rozvoj ? ten je definovany ako $\sum_{n=0}^k{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n}$ do kteho stupna predpokladam ze v bode x = 0 bude aproximacia okolo 0 takze a=0. aspon teda ak ide o toto ....

Prcek · 10. 04. 2011 22:04

tak vychadza mi to zatial takto neviem ci to je spravne ..
$T(x)=\frac x1+\frac {-x^2}2+\frac {x^3}3+\frac {-x^4}4 ...$
cize..

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{-1^{n-1}x^n}n}$

ako teraz z toho urcim obor konvergencie?

Rumburak

↑ Prcek:
Zde postupujeme nepřímo:

jestliže $|x| < 1$ , potom $\frac{1}{1+x}= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$ (geometrická řada o kvocientu $-x$ ),
uvnitř konvergenčního kruhu této řady můžeme přejít k primitivní funkci:

$\ln (1+x)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n}{n+1}\, x^{n+1} \,+\, C$ ,

po přeindexování

(1) $\ln (1+x)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n-1}}{{n}}\, x^{n} \,+\, C$ .

Viz věta o integraci mocninných řad, která též pojednává o konvergenčním kruhu zintegrované řady.
(Jak určíme hodnotu integrační konstanty C ? )

Že řada na pravé straně rovnosti (1) je Taylorovu (speciálně MacLaurinovou) řadou funkce na lévé straně
téže rovnosti, vyplývá z věty o Taylorově rozvoji funkce definované mocninnou řadou. Speciálně tedy

$\frac{1}{n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} \ln(1+x)_{|x=0} = \frac {(-1)^{n-1}}{n}\,\,, \,\,\, n = 1,2, ...$ ,

což bychom přímým derivováním odvozovali poněkud pracně.
Jak to bude s konvegencí a případnou hodnotou v krajích bodech oboru konvergence ? (viz Abelova věta).

Matematické Fórum

#1 10. 04. 2011 20:48

Tylerov rozvoj

#2 10. 04. 2011 21:32

Re: Tylerov rozvoj

#3 10. 04. 2011 22:04

Re: Tylerov rozvoj

#4 11. 04. 2011 09:31 — Editoval Rumburak (11. 04. 2011 10:22)

Re: Tylerov rozvoj

Zápatí