Matematické Fórum

Acttivia · 30. 05. 2008 11:59

Ahoj...potřebovala bych pomoc s jedním příkladem...Stanovte rovnici tečny roviny k ploše o rovnici $x^2+y^2+z^2=9$ v bodě T[1,2,-2]... asi to nebude zas tak těžké,ale nejsme matematická škola...děkuju předem za pomoc

Marian · 30. 05. 2008 16:32 — Editoval Marian (30. 05. 2008 16:44)

Ta plocha zadana rovnici

$x^2+y^2+z^2=9$

se nazyva kulova plocha (nebo take sfera v E_3). Jeji polomer je r=3 a stred S=[0,0,0]. Je to plocha uzavrena a nejedna se o funkci dvou promennych v klasickem smyslu. Vyjadrime si nejprve analyticky cast teto kulove plochy ve tvaru z=f(x,y):

Vzhledem k z-tove suradnice bodu dotyku z_T=-2<0, je jasne, ze budeme pracovat s funkci

$f(x,y)=-\sqrt{9-x^2-y^2}.$

Rovnice tecne plochy z=f(x,y) s bodem dotyku T ma tvar

$z-z_T=\frac{\partial f(T)}{\partial x}\cdot (x-x_T)+\frac{\partial f(T)}{\partial y}\cdot (y-y_T).$

Spocitaji se parcialni derivace (drobnosti nechavam na tobe):

$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{9-x^2-y^2}}\qquad\mathrm{a}\qquad\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{9-x^2-y^2}}.$

Odtud take

$\frac{\partial f(T)}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt{9-1^2-2^2}}=\frac{1}{2}\qquad\mathrm{a}\qquad\frac{\partial f(T)}{\partial y}=\frac{2)}{\sqrt{9-1^2-2^2}}=1.$

Dosadit do vzorce vyse jiste provedes sasmostatne.

Matematické Fórum

#1 30. 05. 2008 11:59

tečna roviny k ploše

#2 30. 05. 2008 16:32 — Editoval Marian (30. 05. 2008 16:44)

Re: tečna roviny k ploše

Zápatí