Matematické Fórum

witty · 12. 04. 2011 19:46

Ahoj prosim o pomoc:
Mám odvodit vzorec obsahu pravidelného n-úhelníku je li dán poloměr kružnice r tomuto n-úhelníku prosim pomozte díky

Dana1 · 12. 04. 2011 19:47

↑ witty:

tomuto n-úhelníku... aká? Opísaná?

witty · 12. 04. 2011 19:49

ano opsaná

o.neill

Zkus si ten n-úhelník rozdělit na n trojúhelníků a zamyslet se nad tím, co všechno o těch trojúhelnících víš a co bys potřeboval vědět, abys spočítal jejich obsah.

Dana1 · 12. 04. 2011 19:58 — Editoval Dana1 (12. 04. 2011 20:08)

↑ witty:

Pravidelný n - uholník sa skladá z n rovnoramenných trojuholníkov. Ich uhly pri strede opísanej kružnice sa dajú vyrátať : majú veľkosť 360°/n.

Potrebujeme vyrátať obsah rovnoramenného trojuholníka s ramenami r a uhlom pri hlavnom vrchole 360°/n.

Spustíme výšku z hlavného vrchola na stranu a n-uholníka. Z pravouhlého trojuholníka platí:

$\frac{\frac{a}{2}}{r}= \sin \left (\frac{1}{2}\cdot \frac{360°}{n}\right)$

Vyjadríš stranu a a potom aj výšku...

Strana a sa dá zistiť napríklad aj z kosínusovej vety pre 1 trojuholník. obsah trojuholníka sa dá vyrátať aj pomocou sinusu uhla zovretého dvoma stranami...

Pravidelný mnohouholník:
Odkaz

Trojuholník:
Odkaz

o.neill · 12. 04. 2011 20:04

Samozřejmě Dana má pravdu, ale když už bych měl navrhnout svoje řešení, tak bych si řekl, že mi stačí vypočítat délku výšky toho trojúhelníka nad jedním z jeho ramen, tu označím v. Potom $\sin\alpha=\frac{v}{r}$ , z čehož vyjádřím v, dosadím do vzorce na výpočet obsahu trojúhelníku a tak dále.

Cheop · 12. 04. 2011 22:48 — Editoval Cheop (14. 04. 2011 12:33)

↑ o.neill:
Üplně nejjednodušeji:
Obsah 1 trojúhelníku:
$S=\frac{r^2}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$
Obsah n- úhelníku:
$S=\frac{n\cdot r^2}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$

Pro obsah pravidelného n-úhelníku pokud známe poloměr kružnice vepsané platí:
$S=n\cdot\rho^2\cdot tg\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Matematické Fórum

#1 12. 04. 2011 19:46

Planimetrie

#2 12. 04. 2011 19:47

Re: Planimetrie

#3 12. 04. 2011 19:49

Re: Planimetrie

#4 12. 04. 2011 19:57 — Editoval o.neill (12. 04. 2011 19:57)

Re: Planimetrie

#5 12. 04. 2011 19:58 — Editoval Dana1 (12. 04. 2011 20:08)

Re: Planimetrie

#6 12. 04. 2011 20:04

Re: Planimetrie

#7 12. 04. 2011 22:48 — Editoval Cheop (14. 04. 2011 12:33)

Re: Planimetrie

Zápatí