Matematické Fórum

Torpy · 13. 04. 2011 00:23

Zdravím,
mám takovouto úlohu -
Zjistěte kolik existuje prvků řádu k v grupě $\mathbb Z_{2^{\alpha}3^{\beta}5^{\gamma}}^*$ pro každé k přirozené číslo a $\alpha,\beta,\gamma$ celá kladná.

Napadlo mě k tomu:
1. Z Čínské věty o zbytcích mám: $\mathbb Z_{2^\alpha3^\beta5^\gamma}\simeq\mathbb Z_{2^\alpha}\times\mathbb Z_{3^\beta}\times\mathbb Z_{5^\gamma}$
Tedy $\mathbb Z_{2^\alpha3^\beta5^\gamma}^*\simeq\mathbb Z_{2^\alpha}^*\times\mathbb Z_{3^\beta}^*\times\mathbb Z_{5^\gamma}^*$

2. dále platí, že (označím ord(a)="řád prvku a") $ord(a,b,c)=NSN(ord(a),ord(b),ord(c)), a\in\mathbb Z_{2^\alpha}^*, b\in\mathbb Z_{3^\beta}^*, c\in\mathbb Z_{5^\gamma}^*$

3. řád $\mathbb Z_{2^\alpha}^*$ je $2^{\alpha-1}$ , tedy (z LaGrangeovy věty) $\mathbb Z_{2^\alpha}^*$ obsahuje prvky řádů 1,2
Podobně řád $\mathbb Z_{3^\beta}^*$ je $2\cdot3^{\beta-1}$ , tedy obsahuje prvky řádů $2^m\cdot3^n, m\in\{0,1\}, n\in\{0,1,2,...,\beta-1\}$
a řád $\mathbb Z_{5^\gamma}^*$ je $2^2\cdot5^{\gamma-1}$ , tedy obsahuje prvky řádů $2^m\cdot3^n, m\in\{0,1,2\}, n\in\{0,1,2,...,\gamma-1\}$

Tedy $\mathbb Z_{2^\alpha3^\beta5^\gamma}^*$ obsahuje prvky řádů $2^a\cdot3^b\cdot5^c, a\in\{0,1,2\}, b\in\{0,1,...,\beta-1\}, c\in\{0,1,...,\gamma-1\}$

Tak jsem zjistil jakých řádů prvky vůbec nabývají a teď ještě schází zjistit kolik jich je.
K tomu mě ale nenapadá jak na to přijít, mohl by mi prosím někdo pomoct, poradit?
Díky za každou radu.

and · 13. 04. 2011 02:47

plati:
$\mathbb Z_{3^\beta}^*\simeq\mathbb Z_{(3-1)3^{\beta-1}}$
$\mathbb Z_{5^\gamma}^*\simeq\mathbb Z_{(5-1)3^{\gamma-1}}$
$\mathbb Z_{2^\alpha}^*\simeq\mathbb Z_{2^{\alpha-2}}\times\mathbb Z_{2}$ pre $\alpha\ge3$ prirozene
potom
$\mathbb Z_{2^\alpha3^\beta5^\gamma}^*\simeq\mathbb Z_{2^\alpha}^*\times\mathbb Z_{3^\beta}^*\times\mathbb Z_{5^\gamma}^*\simeq\mathbb Z_{2^\alpha}^*\times\mathbb Z_{{(3-1)}3^{\beta-1}}\times\mathbb Z_{{(5-1)}5^{\gamma-1}}$ z Čínské věty o zbytcích
$\simeq\mathbb Z_{2^\alpha}^*\times\mathbb Z_{2}\times\mathbb Z_{3^{\beta-1}}\times\mathbb Z_{4}\times\mathbb Z_{5^{\gamma-1}}$
$\simeq\mathbb Z_{2^{\alpha-2}}\times\mathbb Z_{2}\times\mathbb Z_{2}\times\mathbb Z_{3^{\beta-1}}\times\mathbb Z_{4}\times\mathbb Z_{5^{\gamma-1}}$
a teraz by sa to uz malo dat upocitat, nie?

Torpy · 13. 04. 2011 22:33

Jo, takže teď to bude takto?:

1. Zjistím nejprve jakých řádů můžou vůbec prvky nabývat:
V $\mathbb Z_{2^{\alpha-2}}$ jsou prvky řádů $1,2,4,8,...,2^{\alpha-2}$ ,
v $\mathbb Z_2^2$ jsou prvky řádů 1,2
v $\mathbb Z_{3^{\beta-1}}$ jsou prvky řádů $1,3,9,27,...,3^{\beta-1}$ ,
v $\mathbb Z_{5^{\gamma-1}}$ jsou prvky řádů $1,5,25,125,...,5^{\gamma-1}$
v $\mathbb Z_4$ jsou prvky řádů 1,2,4

Tedy v $\mathbb Z_{2^{\alpha-2}}\times\mathbb Z_{2}\times\mathbb Z_{2}\times\mathbb Z_{3^{\beta-1}}\times\mathbb Z_{4}\times\mathbb Z_{5^{\gamma-1}}$ mají prvky řád tvaru $2^p\cdot3^q\cdot5^r, p\in\{0,1,...2^{\alpha-2}\},q\in\{0,1,...3^{\beta-1}\}, r\in\{0,1,...5^{\gamma-1}\}$

2. Teď určím kolik jich je:
tedy hledám prvky $$a,b,c,d,e$\in\mathbb Z_{2^{\alpha-2}}\times\mathbb Z_{2}\times\mathbb Z_{2}\times\mathbb Z_{3^{\beta-1}}\times\mathbb Z_{4}\times\mathbb Z_{5^{\gamma-1}}$ aby $ord((a,b,c,d,e))=2^p\cdot3^q\cdot5^r$
Musí tedy být $ord(e)=5^r$ , takových prvků je Eulerova funkce od $5^r$ ,
$ord(c)=3^q$ , takových prvků je Eulerova funkce od $3^q$
a pro p>=3: $ord(a)=2^p$ , takových prvků je Eulerova funkce od $2^q$
prvky b,d lze zvolit libovolně.

Tedy celkem je $\varphi$5^r$\cdot\varphi$3^q$\cdot\varphi$2^p$\cdot4\cdot4$ prvků řádu $k=2^p\cdot3^q\cdot5^r$ pro p>=3, pro p=0,1,2 stačí podobně dopočítat.

Je to tak?

Děkuju moc