Matematické Fórum

Ryco · 13. 04. 2011 19:33 — Editoval Ryco (13. 04. 2011 20:00)

$f(x)=\frac{x}{lnx}$

vyšlo mi:
$D(f)=(0,\infty)$

$f(-x)=\frac{-x}{ln(-x)}=-f(x)$ fce je lichá

první derivace fce,která mi vyšla podle maw,takže je dobře.

a tady sem se zasekl u urceni stacionárního bodu,položil sem fci rovnou nule a po úpravě mi vyšlo $lnx=1$ a nvm co s tím dále( $x=e$ mohlo by to být tak?). Tímpádem sem nemohl zjistit jestli je fce rostoucí či klesající, tak sem se pokusil vyšetřit druho derivaci a ta mi taky nevyšla. Dál sem nepokračoval. tady přikládám moje dva pokusy o tu druhou derivaci
Odkaz
Prosím o pomoc =)

byk7 · 13. 04. 2011 20:00 — Editoval byk7 (13. 04. 2011 20:02)

↑ Ryco:
1) funkce není lichá protože neplatí $x\in D(f)\Longleftrightarrow -x\in D(f)$

2) $\ln(x)=1 \Rightarrow x=e$

3) $y''=(y')'=$\frac{\ln(x)-1}{\ln^2(x)}$'=\frac{2-\ln(x)}{x\ln^3(x)}$

Phate · 13. 04. 2011 20:00 — Editoval Phate (13. 04. 2011 20:01)

To jsi brzo zanevrel na logaritmy :)
$lnx=1 => x=e^1$
Jinak funkce neni licha, protoze je definovana pouze v $\mathbb{R}^+$
Doporucuji derivace kontrolovat pomoci http://www.wolframalpha.com/
EDIT: a jsem zase pomalej :(

Ryco · 13. 04. 2011 20:07

↑ byk7:
takže funkce neni ani sudá ani lichá?
nemohl by si prosimtě tu druhou derivaci více rozepsat? nemůžu na to ani zaboha přijít, nevím kde dělám chybu :-/

byk7 · 13. 04. 2011 20:23

↑ Ryco:

1) přesně tak

2)
$$\frac{\ln(x)-1}{\ln^2(x)}$'&=\frac{$\ln(x)-1$'\cdot\ln^2(x)-$\ln(x)-1$\cdot$\ln^2(x)$'}{\ln^4(x)}= \\ &=\frac{$\ln(x)$'\cdot\ln^2(x)-$\ln(x)-1$\cdot\frac{2\ln(x)}{x}}{\ln^4(x)}= \\ &=\frac{\frac1x\cdot\ln^2(x)-$\ln(x)-1$\cdot\frac{2\ln(x)}{x}}{\ln^4(x)}= \\ &=\frac{\ln^2(x)-2\ln^2(x)+2\ln(x)}{x\ln^4(x)}= \\ &=\frac{\ln(x)$2-\ln(x)$}{x\ln^4(x)}= \\ &=\frac{2-\ln(x)}{x\ln^3(x)}$

Ryco · 13. 04. 2011 20:33

↑ byk7:
aaaaha díky moc už vím kde sem dělal chybu sem derivoval $ln^2(x)$ jako $\frac {2lnx}{x^2}$

zkusil sem určit ty stacionární body
vyšlo mi to teda $x=e$ a po dosazení e do rovnice za x mi to vyšlo $\frac{lne-1}{ln^2e}=\frac{1-1}{1^2}=0 ... [e,0]$

byk7 · 13. 04. 2011 20:35

↑ Ryco: mně též

Honzc · 14. 04. 2011 09:02

↑ Ryco:
Definiční ober není dobře (nulou nedělíme)

Ryco · 14. 04. 2011 12:34

↑ Honzc:
jj sem se přepsal na papíře to tak mám x),ale dík za upozornění

Honzc · 14. 04. 2011 13:13

↑ Ryco:
Nevím jestli si dobře rozumíme.
Mně nejde o to, že x>0, ale o to, že vyloučit musíme x=1.

Ryco · 14. 04. 2011 13:45

↑ Honzc:
jo aha chapu, protoze ln1=0

Ryco · 14. 04. 2011 14:32 — Editoval Ryco (18. 04. 2011 13:25)

tak tady posílám co jsem vyřešil prosím o kontrolu

$f(x)=\frac{x}{lnx}$
$D(f)=R^+-\{1\}$
$f(-x)=\frac{-x}{ln(-x)}$ funkce neni ani suda ani licha
$f'(x)=\frac{lnx-1}{ln^2x}$
$f'(x)=0 \Longleftrightarrow x=e(stacionarni.bod)$
v intervalu:
$(0,1)$ klesa,
$(1,e)$ klesa,
$(e,\infty)$ roste, $f(e)=e$ lokální minimum
$f''(x)=\frac{2-lnx}{xln^3x}$
$f''(x)=0 \Longleftrightarrow x=e^2$ bod podezřelý z inflexe
v intervalu:
$(0,1)$ konkávní,
$(1,e^2)$ konvexní,
$(e^2,\infty)$ konkávní, $e^2$ inflexní bod

počítal sem i asymptoty,ty mi ale vyšli že nemá, což se mi podle grafu který u této fce vyjde moc nezdá

Honzc · 15. 04. 2011 07:02 — Editoval Honzc (15. 04. 2011 08:37)

↑ Ryco:
Jak jsi spočítal, že f(e)=1/e ?
Myslím si (ale chtělo by to, aby se k tomu vyjádřili studovaní matematici), definiční obor se dá rozšířit i na 0. Limita pro danou fci v bodě 0 je totiž 0.

jelena · 15. 04. 2011 08:58

↑ Honzc:

Zdravím,

je to drzost, když je požadováno "vyjádření studovaných matematiků", ale tak: v $x=0$ $$$$ nebude asymptota bez směrnice (svislá), to je důsledkem, že limita funkce k 0+ je nulová. V bodě x=0 na grafu nakreslíme prázdné kolečko, ze kterého graf začne, ale def. obor tady není.

Může být? Děkuji.

Aby kolečko bylo zaplněno, to by se muselo dodefinovat, což se nepožaduje.

↑ Ryco:

Souhlasím s kolehou Honzc(em), že asymptota bez směrnice je v x=1, je třeba došetřit pomoci limit chování funkce zleva a zprava od této hodnoty. Asymptota se směrnici mi také nevyšla, sice k=0, ale při výpočtu q již vychází limita v nekonečnu.

Zbytek jsem nekontrolovala.

Ryco · 16. 04. 2011 17:32

↑ Honzc:
dosadil sem si e do f"(x)
$f''(x)=\frac{2-lnx}{xln^3x}=\frac{2-lne}{eln^3e}=\frac{2-1}{e*1}=\frac{1}{e}=e^{-1}$

můžete mi prosím někdo dát postup na ty asymptoty? moc si s tím nevím rady

Honzc · 16. 04. 2011 19:33

↑ Ryco:
A proč to dosazuješ do druhé derivace funkce?
To, že druhá derivace funkce pro x=e je 1/e>0 signalizuje, že tam je lokální minimum, ale y-ová hodnota funkce pro x=e není tebou vypočítaná hodnota 1/e, ale e.

byk7 · 16. 04. 2011 19:34 — Editoval byk7 (16. 04. 2011 19:35)

pozor, je rozdíl mezi f(x) a f''(x)

↑ Honzc: v tom bude ten problém, protože
$f(e)&=\frac{e}{\ln(e)}=\frac{e}{1}=e \\ f''(e)&=\frac{2-\ln(e)}{e\cdot\ln^3(e)}=\frac{2-1}{e\cdot1^3}=\frac{1}{e}$
kolega to špatně označoval

Ryco · 16. 04. 2011 21:04

jo takhle spatne sem to zapsal

$f''(e)=\frac{2-lnx}{xln^3x}=\frac{2-lne}{eln^3e}=\frac{2-1}{e*1}=\frac{1}{e}=e^{-1}$
$e^{-1}>0$ => v bodě $e$ je lokální minimu
(a ne v bodě $e^{-1}$ jak sem psal výše)

Honzc · 17. 04. 2011 07:23

↑ byk7:
Mně to vysvětlovat nemusíš. Já to vím.

Matematické Fórum

#1 13. 04. 2011 19:33 — Editoval Ryco (13. 04. 2011 20:00)

Průběh funkce x/lnx

#2 13. 04. 2011 20:00 — Editoval byk7 (13. 04. 2011 20:02)

Re: Průběh funkce x/lnx

#3 13. 04. 2011 20:00 — Editoval Phate (13. 04. 2011 20:01)

Re: Průběh funkce x/lnx

#4 13. 04. 2011 20:07

Re: Průběh funkce x/lnx

#5 13. 04. 2011 20:23

Re: Průběh funkce x/lnx

#6 13. 04. 2011 20:33

Re: Průběh funkce x/lnx

#7 13. 04. 2011 20:35

Re: Průběh funkce x/lnx

#8 14. 04. 2011 09:02

Re: Průběh funkce x/lnx

#9 14. 04. 2011 12:34

Re: Průběh funkce x/lnx

#10 14. 04. 2011 13:13

Re: Průběh funkce x/lnx

#11 14. 04. 2011 13:45

Re: Průběh funkce x/lnx

#12 14. 04. 2011 14:32 — Editoval Ryco (18. 04. 2011 13:25)

Re: Průběh funkce x/lnx

#13 15. 04. 2011 07:02 — Editoval Honzc (15. 04. 2011 08:37)

Re: Průběh funkce x/lnx

#14 15. 04. 2011 08:58

Re: Průběh funkce x/lnx

#15 16. 04. 2011 17:32

Re: Průběh funkce x/lnx

#16 16. 04. 2011 19:33

Re: Průběh funkce x/lnx

#17 16. 04. 2011 19:34 — Editoval byk7 (16. 04. 2011 19:35)

Re: Průběh funkce x/lnx

#18 16. 04. 2011 21:04

Re: Průběh funkce x/lnx

#19 17. 04. 2011 07:23

Re: Průběh funkce x/lnx

Zápatí