#1 06. 04. 2011 20:51 — Editoval byk7 (13. 04. 2011 21:01)
Maximum a minimum
Na Art of problem jsem našel problém:
Určete nejvetší/nejmenší hodnotu výrazu 
bez použití kalkulu.
S derivacemi by byl problém velmi jednoduchý.
Ale bez kalkulu jsem (aspoň) já v koncích.
edit: doufám, že nikomu nevadí povýšení úlohy na zajímavou
Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.
Offline
#2 14. 04. 2011 10:27
Re: Maximum a minimum
↑ byk7:
Jen takový nástin.
1. Funkce je sudá (lehko dokazatelné)
2. Funkce je periodická (perioda Pi)
3. Protože platí (sin(x))^2+(cos(x))^2=1 je jasné, že pro x kde je sin(x)=+-cos(x) bude y=1 (x=+-Pi/4 x= 3*Pi/4)
4. Potom dle Rolleovy věty musí mít funkce v intervalech (-pi/4, Pi/4) a (pi/4,3*Pi/4) lokální extrémy
5. Protože je fce periodická a sudá budou extrémy uprostřed těchto intervalů
6. Lehko se spočítá, že minimum je pro x=0 a maximum pro x=Pi/2
Offline
#3 14. 04. 2011 21:05
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Maximum a minimum
↑ Honzc:
Ahoj, k bodu 5 - proč nemůže extrém být např. v nějakém bodě x (0<=x<=pi/4) - pak by byl i v bodech -x a x+pi - je to ve sporu s nějakou vlastností funkce f? Proč tedy musí být extrém uprostřed uvedených intervalů?
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline