Matematické Fórum

byk7 · 14. 04. 2011 12:34

Zdravím, chtěl bych se zeptat, jestli existuje nějaký jednodušší způsob, jak vypočítat n-tou derivaci, než je
$f^{(n)}(x)=$f^{(n-1)}(x)$'$

Děkuji

Equo · 14. 04. 2011 13:05

Imho to ide, ale neviem určiť pri všetkých. Či je množina všetkých rekurzívnych funkcií ekvivaletná množine rekurzívnych, ktoré sa dajú previesť. Veľmi som sa s tým nestretol, že by sa počítalo bez rekurzie, pretože by si musel potom dokazovať, že postup použitý bez rekurzie je korektný, lebo každá rekurzívna funkcia sa pri zápise do nerekurzívneho stavu prevádza inak. Napr:
${(x^n)}^{(m)}$ kde m je m-tá derivácia a m<=n by si vypočítal danú deriváciu ako $\frac {n!}{(n-m)!} * x^{n-m}$ Obdobne by sa to dalo robiť s rôznymi jednoduchými goniometrickými funkciami, no pri arcus funkciach prípadne súčinoch a podieloch by sa ti n-tá derivácia začala správať naozaj rekurzívne a vymyslieť nerekurzívnu funkciu ekvivalentnú k n-tej derivácií by zabralo viac času. Toť môj názor.

jarrro · 14. 04. 2011 14:23

↑ byk7:myslíš niečotakéto?

byk7 · 15. 04. 2011 20:40

↑ jarrro: pěkné, ale jak to dokázat?

jarrro · 15. 04. 2011 20:50

↑ byk7:mňa sa nepýtaj ja som to nevymyslel,ale myslím,že by to nemalo byť zložité ukázať,že ak ntá derivácia existuje tak sa dá tak počítať ak neexistuje tak limita môže existovať

Kondr · 15. 04. 2011 21:33

↑ byk7: Indukcí vzhledem k $n$ s využitím ${a \choose n}+{a+1 \choose n}={a+1\choose n+1}$ .

Ale otázkou je, ve kterých případech je takový výpočet efektivní.

byk7 · 15. 04. 2011 22:35

↑ Kondr: já jsem spíš myslel jak to odvodit, omlouvám se za špatné vyjádření

Pavel Brožek · 15. 04. 2011 22:45

↑ byk7:

První derivace je pro malá h přibližně rovna

$f'(x)\approx\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$

Druhá derivace

$f''(x)&\approx\frac{f'(x)-f'(x-h)}{h}\approx\frac{\frac{f(x)-f(x-h)}{h}-\frac{f(x-h)-f(x-2h)}{h}}{h}=\\ &=\frac{f(x)-2f(x-h)+f(x-2h)}{h^2}$

Mohl bych pokračovat dále, ale myslím, že už zde se zobecnění nabízí. Stačí tam přidat limitu $h\to0$ a dokázat, že uhodnutý vzorec skutečně platí.

anes · 15. 04. 2011 23:25

↑ byk7:
Otevři nějaká skripta z numeriky a s největší pravděpodobností tam něco takového potkáš.

byk7 · 15. 04. 2011 23:26

↑ anes: jako numerická matika?

anes · 15. 04. 2011 23:37 — Editoval anes (15. 04. 2011 23:37)

Jo. Určitě tam bude kapitolka o numerickém výpočtu derivace, kde na podobné vzorečky narazíš, s trochou štěstí i s dostatečným rozborem, jestli /kdy to funguje.

Matematické Fórum

#1 14. 04. 2011 12:34

n-tá derivace

#2 14. 04. 2011 13:05

Re: n-tá derivace

#3 14. 04. 2011 14:23

Re: n-tá derivace

#4 15. 04. 2011 20:40

Re: n-tá derivace

#5 15. 04. 2011 20:50

Re: n-tá derivace

#6 15. 04. 2011 21:33

Re: n-tá derivace

#7 15. 04. 2011 22:35

Re: n-tá derivace

#8 15. 04. 2011 22:45

Re: n-tá derivace

#9 15. 04. 2011 23:25

Re: n-tá derivace

#10 15. 04. 2011 23:26

Re: n-tá derivace

#11 15. 04. 2011 23:37 — Editoval anes (15. 04. 2011 23:37)

Re: n-tá derivace

Zápatí