Matematické Fórum

Equo · 14. 04. 2011 11:49

Zdravím.

Prosím Vás, mám otázku ohľadom homorfizmov. Jednoduché veci ako $\varphi : \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q$ kde $\varphi (a) = expression$ , dokazovať zobrazenia homomorfizmy, jádra a obrazy nie je problém. Problém nastáva pri štruktúrach, ktoré vyzerajú trošku zložitejšie, napr:
$\mathbb Z_7^* \times \mathbb Z_4 \rightarrow \mathbb Z_{28}$
predpokladám, že to bude mať niečo spoločné s generátorom cyklickej grupy $\mathbb Z_7^*$ atď no neviem s tým pohnúť.

A potom niečo podobné - keď mám spraviť homomorfizmus niečoho súdeliteľného. Napr.:
$\mathbb Z_4 \times \mathbb Z_6 \rightarrow \mathbb Z_{10}$

Za každú pomoc budem vďačný.

Ďakujem.

musixx · 14. 04. 2011 13:04 — Editoval musixx (14. 04. 2011 13:06)

Na co přesně se ptáš? Není to úplně jasné. Někdo po tobě chce, abys našel nějaké takové homomorfismy nebo spíš chce, abys o konkrétním zobrazení ukázal, že o homomorfismus jde? Se soudělností těch indexů dole to nijak zvlášť nesouvisí. Největší obtíž v takových případech bývá ukázat, že dané zobrazení je korektní, tedy že nezávisí na volbě reprezentantů jednotlivých tříd. Ale to by chtělo, abys byl v dotazu konkrétnější.

Equo · 14. 04. 2011 13:08

Ospravedlňujem sa za nepresnosť otázky, stratil som sa vo vlastných myšlienkach. Ide mi o ukázanie existencie homomorfizmu, a ak existuje tak nájsť ho, resp. nájsť všetky homomorfizmy.

musixx · 14. 04. 2011 13:33

No, vypsat všechno bude nějaká práce. Ale jeden je vždy jasný: poslat vše na neutrální prvek.

Pro výpis všech možných homomorfismů bych asi začal tím, že faktor toho vlevo podle jádra je izomorfní obrazu, což je podstruktura toho vpravo (tady asi půjde o (přirozené) grupy, že?). Jádro je samozřejmě podstruktura toho vlevo, což nám celkem dává dost informaci o počtu prvků v jednotlivých zmíněných "věcech".

V obou případech má to vlevo 24 prvků, dále 28=2.2.7, 10=2.5, pětka ani sedmička není dělitelem 24, tedy možnosti toho, co může být obrazem se docela smrskly.

Zkus pokračovat sám...

Equo · 14. 04. 2011 14:39 — Editoval Equo (14. 04. 2011 15:31)

Mne práve ide o netriviálne homomorfizmy, čiže poslať všetko na neutrálny prvok ma moc neposunie vpred.
Faktor grupy mi veľa nehovorí, bohužiaľ to náš prednášajúci tento rok vypustil v Matematike IV, pretože to malo mizernú úspešnosť.
Rád obrazu delí rád vzoru. Čiže sa mi to vľavo môže zobraziť len na prvky rovnakých rádov? V prvom prípade
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 delí 24
v druhom prípade
1, 2, 4, 7, 14, 28 delí 28
rády sa rovnakú pre prvky rádu 1, 2, 4 - čiže prvky 0, 14 a 7
z toho vyplýva, že homomorfizmy sú nejaké takéto :
$\varphi : ([a]_7,[b]_4) \rightarrow [0]_{28} \nl \varphi : ([a]_7,[b]_4) \rightarrow [a*14]_{28} \nl \varphi : ([a]_7,[b]_4) \rightarrow [a*7]_{28}$
Neviem, či som Ťa správne pochopil, je to správne a takto si to myslel?

/edit: máš pravdu v zbŕklosti som to zas domiešal, už som si to upravil

musixx · 14. 04. 2011 15:18 — Editoval musixx (14. 04. 2011 15:18)

Nějak tímto směrem, jak se ubíráš, jsem to skutečně myslel. Bohužel teď nemám čas to tu rozepisovat. Buď já později nebo třeba se přidá někdo jiný. Ale každopádně vlevo nemáš něco jako $[a]$ , ale $([a]_7,[b]_4)$ , resp. $([a]_4,[b]_6)$ . Homomorfismus je obyčejné zobrazení s nějakými dalšími vlastnostmi, tak také popřemýšlej, odkud kam vede.

Equo · 14. 04. 2011 15:37

To hore som editol.
Ešte k tomu druhému príkladu, tam to také jednoduché nebude a to vľavo nemá rád 24, pretože 6 a 4 máš súdelitelné, teda ak mám dobré informácie, že v prípade súdelitelných grúp to je trošku inak ako len aplikovanie eulerove funkcie na grupu. Čo je na týchto informáciach pravdivé?

musixx · 14. 04. 2011 15:46 — Editoval musixx (14. 04. 2011 15:54)

↑ Equo: Veskze na nich nic není pravdivé. Nevím, co myslíš aplikací eulerovy funkce na grupu nebo soudělnými grupami. Je pouze pravda, že Eulerova funkce se dostává do hry třeba při vyčíslování počtu prvků v grupě "s křížkem". Trošku nám tady pokulhává terminologie. Taky bych doporučil mrknout se na součin grup, ať tu nenarážíme na problémy...

A také je třeba uvažovat standardní operace na těch grupách (tedy na grupě všech zbytkových tříd sčítání, zatímco na grupě pouze invertibilních prvků násobení a přirozenou operaci na součinu grup).

Equo · 14. 04. 2011 16:33

Uhm, dnes som úplne mimo, musím vyzerať ako lama.
no k problému. u invertibilných fí určuje počet, ja som si zas pozrel na jedno a písal k druhému. Dnes prosím moju terminológiu s rezervou radšej, škoda nervov :)
Proste pri grupe zvyškovej triedy Z4 a Z6 my išlo o to, že sú izomorfné k Z12, práve preto že 4 a 6 sú súdeliteľné.
Myslím to nejako takto:
$[0]_4 \times [0]_6 \rightarrow [0]_{12} [0]_4 \times [1]_6 \rightarrow [2]_{12} [0]_4 \times [2]_6 \rightarrow [4]_{12} \nl [0]_4 \times [3]_6 \rightarrow [6]_{12} [0]_4 \times [4]_6 \rightarrow [8]_{12} [0]_4 \times [5]_6 \rightarrow [10]_{12} \nl [1]_4 \times [0]_6 \rightarrow [3]_{12} [1]_4 \times [1]_6 \rightarrow [5]_{12} [1]_4 \times [2]_6 \rightarrow [7]_{12} \nl [1]_4 \times [3]_6 \rightarrow [9]_{12} [1]_4 \times [4]_6 \rightarrow [11]_{12} [1]_4 \times [5]_6 \rightarrow [1]_{12}$
čiže som myslel, že $\mathbb Z_4 \times \mathbb Z_6$ má 12 prvkov, nie 24. Ale pravdepodobne mám zas v niečom medzery, prípadne celá moja argumentácia je zlá. Bol by som ti vďačný, ak by si si našiel čas a napísal mi homomorfizmy $\mathbb Z_4 \times \mathbb Z_6 \rightarrow \mathbb Z_{10}$ a ako si na ne prišiel, ja som typ človeka, ktorému príklad povie viac ako nejaká teória.

Ďakujem

musixx · 15. 04. 2011 14:44 — Editoval musixx (15. 04. 2011 14:51)

Tak já se teda do toho pustím...

Předně, ${\mathbb Z}_4\times{\mathbb Z}_6$ má 24 prvků, a to postupně uspořádané dvojice $([0]_4,[0]_6)$ až $([3]_4,[5]_6)$ .

Jádro každého homomorfismu $\varphi$ , který vede to ${\mathbb Z}_{10}$ je podgrupou v ${\mathbb Z}_4\times{\mathbb Z}_6$ , tedy jeho počet prvků je dělitelem čísla 24 a protože obraz takového homomorfismu má (viz faktorgrupy) $\frac{24}{|{\rm ker}\ \varphi|}$ prvků, je též počet prvků v obraze dělitelem čísla 24. Obraz je ale současně podgrupou v ${\mathbb Z}_{10}$ , tedy počet prvků v něm je též dělitelem čísla 10=5.2. Pětka ale není v rozkladu 24, proto je $|{\rm Im}\ \varphi|=1$ nebo $|{\rm Im}\ \varphi|=2$ .

No ale takových podgrup na kandidáta na ${\rm Im}\ \varphi$ teda mnoho nebude, jsou to jen $\lbrace[0]_{10}\rbrace$ a $\lbrace[0]_{10},[5]_{10}\rbrace$ .

Budu-li vědět, kam posílám $([1]_4,[0]_6)$ , pak vím, kam posílám libovolné $([a]_4,[0]_6)$ , a analogicky pro $([0]_4,[1]_6)$ .

Takže máme celkem 4 kandidáty:

A) $([1]_4,[0]_6)\mapsto[0]_{10}$ a $([0]_4,[1]_6)\mapsto[0]_{10}$
B) $([1]_4,[0]_6)\mapsto[5]_{10}$ a $([0]_4,[1]_6)\mapsto[0]_{10}$
C) $([1]_4,[0]_6)\mapsto[0]_{10}$ a $([0]_4,[1]_6)\mapsto[5]_{10}$
D) $([1]_4,[0]_6)\mapsto[5]_{10}$ a $([0]_4,[1]_6)\mapsto[5]_{10}$

Není těžké vidět, že pak

A) $([a]_4,[b]_6)\mapsto[0]_{10}$
B) $([a]_4,[b]_6)\mapsto[5a]_{10}$
C) $([a]_4,[b]_6)\mapsto[5b]_{10}$
D) $([a]_4,[b]_6)\mapsto[5(a+b)]_{10}$

To, že pokud jsou tato zobrazení korektně definovaná, pak jde o homomorfismy, je snadné: Uvažme třeba D):

$\varphi(([a]_4,[b]_6)+([c]_4,[d]_6))=$
$\varphi(([a+c]_4,[b+d]_6))=[5((a+c)+(b+d))]_{10}=$
$[5(a+b)]_{10}+[5(c+d)]_{10}=$
$\varphi(([a]_4,[b]_6)+\varphi(([c]_4,[d]_6))$
(poznámka: Ty zdvojené závorky není žádný překlep.)

To, že nezávisí na volbě reprezentantů, také není nijak těžké:

$\varphi(([a+4k]_4,[b+6l]_6))=$
$[5(a+4k+b+6l]_{10}=$
$[5(a+b)]_{10}+[20k+30l]_{10}=$
$[5(a+b)]_{10}+[0]_{10}=$
$[5(a+b)]_{10}=$
$\varphi(([a]_4,[b]_6))$

Analogicky se řeší A) až C) a je zřejmé, že jde vždy o různé homomorfismy.

----------------------------------

Případ s homomorfismy jdoucími ze ${\mathbb Z}_7^\times\times{\mathbb Z}_4$ , je téměř stejný, protože ${\mathbb Z}_7^\times$ je izomorfní ${\mathbb Z}_6$ , neboť jsou obě cyklické o šesti prvcích (generátorem multiplikativní ${\mathbb Z}_7^\times$ je třeba $[3]_7$ ), a snadno se najde izomorfismus mezi kartézskými součiny, které se liší pořadím činitelů. Obraz může mít 1, 2 nebo 4 prvky.

Pokud tato cesta je pro tebe moc abstraktní, tak se do toho pusť stejně jako v předchozím případě. Doporučil bych ale značit operaci v ${\mathbb Z}_7^\times\times{\mathbb Z}_4$ třeba nějakým kolečkem, protože samozřejmě platí
$([a]_7,[b]_4)\circ([c]_7,[d]_4)=([a\cdot c]_7,[b+d]_4)$ ,
tedy je třeba uvažovat, kam se posílají třeba $([3]_7,[0]_4)$ a $([1]_7,[1]_4)$ , neboť $[0]_4$ je neutrální v ${\mathbb Z}_4$ a $[1]_4$ je tam generátor, zatímco v ${\mathbb Z}_7^\times$ je neutrální $[1]_7$ a generátor je třeba $[3]_7$ .

Je proto potřeba (po ukázání nezávislosti na volbě reprezentantů), že
$\varphi(([a]_7,[b]_4)\circ([c]_7,[d]_4))=\varphi(([a]_7,[b]_4))+\varphi(([c]_7,[d]_4))$ .

-----------------------------------

Snad tu nemám moc překlepů...