Matematické Fórum

veve_maty · 29. 10. 2007 17:05

Jsou dány homogení soustavy nad R. Určete bázi a dimenzi podprostoru řešení těchno soustav:

První soustava

-x1 + 2x2 + 3x3 = 0
x1 - 4x2 - 13x3 = 0
-3x1 + 5x2 + 4x3 = 0

Druhá soustava

2x1 - 4x2 + 5x3 + 3x4 = 0
3x1 - 6x2 + 4x3 + 2x4 = 0
4x1 - 8x2 + 17x3 + 11x4 = 0

Děkuji za pomoc či vyřešení

Marian · 30. 10. 2007 10:40 — Editoval Marian (30. 10. 2007 11:31)

Zkusim neco napsat k prvni soustave. Budu oznacovat hodnost matice soustavy $h({\bf{A}})$ , kde A je uvazovana matice soustavy. Tu vytvorime velice snadno z koeficientu zadane soustavy, kde kazdy sloupec teto matice bude asociovany s prislusnou neznamou (tedy prvni sloupec s neznamou x1, etc.). Tuto matici upravime pomoci ekvivalentnich uprav na Gaussuv stupnovy tvar. Tedy

Odtud mame pak $h({\bf{A}})=2<{\rm pocet\,\, neznamych}=3$ . Tedy tzv. defekt matice soustavy je roven jedne. Tento defekt (pocet nulovych radku v matici upravene na Gaussuv stupnovy tvar) nam take udava, jaka bude dimenze podprostoru reseni tve soustavy. Odtud dimenze je rovna 1. Nyni ke tvaru a predne k nalezeni reseni tve soustavy.

Gaussuv tvar posledni matice nam z nenulovych radku dava soustavu dvou rovnic (pocet nenulovych radku je totiz 2) a tri neznamych (3 sloupce matice). Proto

Nyni se zvoli tzv. bazicke a nebazicke nezname. Nebudu prilis okolo toho psat, ale sdelim pouze, ze zvolime $x_3$ jako paramatr, řekněme $x_3=t,\quad t\in\mathbb{R}$ . Pak posledni soustava prejde na tvar

kde t je realne cislo. Odtud pak mas, ze reseni tve prvni soustavz je cela mnozina vektoru, ktere maji tvar
$(x_1,x_2,x_3)=(-7t,-5t,t)=t\cdot (-7,-5,1),\quad t\in\mathbb{R}$ . Baze $B$ podprostoru reseni tve soustavy je tedy jediny vektor (logicky, pokud je dimenze tohoto prostoru rovna 1), a to $(-7,-5,1)$ .

******************************************************************************

Pokud by defekt matice byl vyssi, a tedy byl by vyssi pocet parametru, napriklad $r,s,t\in\mathbb{R}$ , pak by se reseni takove soustavy dalo vzdy zapsat ve tvaru

$(x_1,x_2,x_3)=r\cdot\vec{a_1}+s\cdot\vec{a_2}+t\cdot\vec{a_3}$ . Baze by pak byla $B:\langle\, \vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3}\,\rangle$ , dimenze samozrejme rovna trem. (Predpokladal jsem, ze pocet neznamych je roven opet trem, ale tato restrikce nemusi byt.)

Marian

Everald · 13. 11. 2007 18:24

Hm, poradte u té druhé rovnice...
resením by melo být tohle: dimenze je 2, bázi tvoøí napø. vektory (2; 0;¡5; 7), (2; 1; 0; 0)

ale mě pokaždé vyjdou 2 nulové řádky a jeden nenulový takže hodnost je 1 ne?
Neznámé jsou 4 a proto defekt je 3? a tudíž dimenze taky 3... hm a tady už se s řešením neshodnu...

Kondr · 13. 11. 2007 19:17

12x1 - 24x2 + 30x3 + 18x4 = 0
12x1 - 24x2 + 16x3 + 12x4 = 0
12x1 - 24x2 + 51x3 + 33x4 = 0

2x1 - 4x2 + 5x3 + 3x4 = 0
+ 7x3 + 5x4 = 0

Řešení soustavy jsou tvaru (2t,t-u,-5u,7u), báze je proto {(2,1,0,0),(0,-1,-5,7)} a dimenze 2.

Herman02 · 18. 12. 2007 15:12

Zdravím, mám uvést příklad báze vektorového podprostoru dimenze 2 vektorového prostoru dimenze 4. Nevím si s tím rady. Předem děkuji za pomoc...

Matematické Fórum

#1 29. 10. 2007 17:05

Homogení soustavy

#2 30. 10. 2007 10:40 — Editoval Marian (30. 10. 2007 11:31)

Re: Homogení soustavy

#3 13. 11. 2007 18:24

Re: Homogení soustavy

#4 13. 11. 2007 19:17

Re: Homogení soustavy

#5 18. 12. 2007 15:12

Re: Homogení soustavy

Zápatí