Matematické Fórum

drabi · 14. 04. 2011 19:56

ahoj,
prosím o pomoc s výpočtem integrálu pomocí Fubiniho věty
$\int_0^1\frac{\arcsin(x^a) - \arcsin(x^b)}{x\ln(x)}\mathrm{d}x$
díky moc

Stýv · 14. 04. 2011 20:14

↑ drabi: a s čím přesně máš problém?

drabi · 14. 04. 2011 20:50

↑ Stýv:
uz jsem s tim trochu hla, ale moc si nejsem jista, zda to je dobre a zda mam dobre urcenou konvergenci:
takze ten integrand je spojity na (0,1)
pak si nevim s rady s krajnimi body
potom mam
$a=b=0$ pak konvrguje
$a=0=!b \vee a=!0=b$ pak se integral chova jako $\frac{1}{x^2}$ tedy konverguje pro $(a=0 \wedge b<0) \vee (a<0 \wedge b=0)$
a pro $a,b>0$ jsem dosla k tomu, ze to konverguje, kdyz $a,b>\frac{1}{3}$
a k samotnemu vypoctu:
$\int^1_0 \left[\frac{\arcsin(x^y)}{x\ln(x)}\right]^a_b dx = \int^1_0 \int^a_b \frac{x^{y-1}}{\sqrt{1-x^{2y}}} dy dx = \int^a_b \int^1_0 \frac{x^{y-1}}{\sqrt{1-x^{2y}}} dx dy = \int^a_b \left[\frac{\arcsin(x^y)}{y}\right]^1_0 dy = \int^a_b \frac{\pi}{2y} dy = \frac{\pi}{2}\log{\frac{a}{b}}$ , $a=!0=!b, a,b>0 \vee a,b<0$

Matematické Fórum

#1 14. 04. 2011 19:56

Fubini

#2 14. 04. 2011 20:14

Re: Fubini

#3 14. 04. 2011 20:50

Re: Fubini

Zápatí