Matematické Fórum

Michaerl

Zdravím, zkoušel jsem rozepsat 2^n jako (2 + 0)^n

$2^n = (2 + 0)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \brace k}2^{n-k} 0^k$

mělo by to jít ne? ...Ale přitom $0^0$ není definováno

FailED · 14. 04. 2011 23:46

Ahoj,

binomické koeficienty se zapisují jako ${n \choose k}$ , tohle obvykle znamená něco jiného.

$0^0$ je záležitostí definice, většinou se vyplatí definovat $0^0:=1$ , pokud jste si to nedefinovali, musíte udělat výjimku v definici binomické věty.

Michaerl · 15. 04. 2011 00:01

Ahoj

${n \choose k}$ ...jo dík, ja si nemoch vzpomenout na příkaz a psal jsem to narychlo...

třeba $n^0 = 1$ = $\dfrac{n^4}{n^4} = n^{4-4} = n ^ 0$ chápu

ale $\dfrac{0^4}{0^4} = 0^{4-4} = 0 ^ 0$ tady to nechápu => dělení 0

Dana1 · 15. 04. 2011 00:06 — Editoval Dana1 (15. 04. 2011 00:08)

↑ Michaerl:

$0 ^ 0$ sa definuje, neodvodzuje sa to. Odvodenie platí iba pre nenulové čísla. FaileD to vo svojom príspevku #2 uvádza.

musixx · 15. 04. 2011 08:39 — Editoval musixx (15. 04. 2011 08:41)

Jen bych dodal, že většinou se (trochu alibisticky) říká "pro účely (rozšířené) binomické věty definujme 0^0=1". Ve zbytku analýzy je to typicky tzv. neurčitý výraz nabývající libovolné hodnoty (viz třeba limity).

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Rumburak

Pokusím se ten problém s $0^0$ rozebrat poněkud podrobněji - aspoň pro ty čtenáře, kteří jsou již obeznámeni s pojmy
spojitost funkce a limita funkce.

Uvažujme funkce $f(x):=x^0\,,\,\, x \in \mathbb R - \{0\}$ , $g(x):=0^x\,,\,\, x > 0$ . Jak víme, jde o funkce, které jsou na svých
definičních oborech konstantní , a sice $f(x) \equiv 1$ , $g(x) \equiv 0$ .

Zavést symbol $0^0$ znamená dodefinovat funkce f, g v bodě 0 . Taková definice by měla být rozumně podložena , tj. měl by
existovat rozumný důvod, proč je $0^0$ definováno právě takovým a ne nějakým jiným způsobem. (Například $0^0:=\sqrt{\pi + 7}$
by nebyla rozumnou definicí, protože k ní žádný rozumný důvod neexistuje).

Za rozumný důvod vedoucí k definici symbolu $0^0$ byl shledán ten, aby funkce $f_0(x):=x^0\,,\,\, x \in \mathbb R$ byla spojitá v bodě 0 ,
což vede k definici $0^0:=1$ .

Mohli jsme sice alternativně definovat $0^0:=0$ , aby byla zprava spojitá v 0 funkce $g_0(x):=0^x\,,\,\, x \ge 0$ , ale ve vyšší
matematice se ukazuje, že předchozí varianta naší definice má lepší uplatnění.

Ideální varianta, díky níž by byla v bodě [0,0] spojitá (v proměnné y zprava) funkce $h(x,y) :=x^y \,,\,\,x \in \mathbb R, y\ge 0$ ,
bohužel neexistuje, neboť

$\lim_{x\to 0}x^0 = 1 \ne 0=\lim_{x\to 0+}0^x$ ,

proto se v analýze hovoří o "neurčitých výrazech typu $0^0$ ", čímž není ovšem míněn sám symbol $0^0$ , ale funkční výrazy
tvaru $u(x)^{v(x)}$ v okolí bodů c, v nichž

(1) $\lim_{x\to c}u(x) = \lim_{x\to c}v(x)=0$

(může jít i o jednostrannou limitu nebo o limitu v nevlastním bodě). Existence ani hodnota limity $\lim_{x\to c}u(x)^{v(x)}$ se nedá zjistit
pouze na základě (1), ale závisí na jemnějších vlastnostech funkcí u, v . Jinými slovy: na tuto limitu v případech (1) NELZE aplikovat
"aritmetiku limit" , limita NEMUSÍ být automaticky rovna $0^0=1$ .