Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 16. 04. 2011 21:44

fogFrog
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Součet n dolních celých částí odmocnin

Chtěla bych sečíst:
$\sum_{k=1}^{n}\lfloor{\sqrt{k}}\rfloor$

k jedinému čemu jsem tak pořádně došla:
$=3*1+5*2+7*3+...+(2k+1)k$
Ale to je jaksi... nic moc.
Napadlo mě, vzhledem k tomu, že při rozepsání
$1+1+1+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+4+4+4+4+4+4+4+4+4+...$
Že by se to dalo rozdělit do menších posloupností, tři od 1 do n, a pak vždycky po dvou od každého dalšího čísla do n
1,2,3,4,5,6,7,8,...n
1,2,3,4,5,6,7,8,...n
1,2,3,4,5,6,7,8,...n
   2,3,4,5,6,7,8,...n
   2,3,4,5,6,7,8,...n
      3,4,5,6,7,8,...n
      3,4,5,6,7,8,...n
...
...
                         n
                         n

Ale do toho jsem se tak zamotala, že se asi už nikdy nerozmotám, navíc se mi ta úvaha stejně nějak nezdá.

Offline

 

#2 17. 04. 2011 10:26 — Editoval Pavel (17. 04. 2011 10:26)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1828
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Součet n dolních celých částí odmocnin

↑ fogFrog:

Pokud jde o určení součtu řady

$
\sum_{k=1}^{n}(2k+1)k=2\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k$,

stačí použít tyto vzorce.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#3 17. 04. 2011 11:20

fogFrog
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Re: Součet n dolních celých částí odmocnin

↑ Pavel: Nejsem si moc jistá, že to můžu ale takhle sečíst, protože (2k+1)k je vždycky součet všech čísel, jejichž odmocnina má stejnou dolní celou část.

Offline

 

#4 17. 04. 2011 11:53

anes
Příspěvky: 146
Reputace:   14 
 

Re: Součet n dolních celých částí odmocnin

Nerozumím, kde by měl být problém. Vzorce, na které odkazoval ↑ Pavel: fungují. Tvoje suma je hezká, má výhradně kladné členy, takže by šla sčítat v libovolném pořadí - což vlastně ani nepotřebuješ, tady taky problém nebude.
To, že čísel, pro něž je $\lfloor{\sqrt{k}}\rfloor = a$ bude 2a+1 je taky zřejmé. Budou to čísla mezi $a^2$ a $(a+1)^2-1$, kterých je 2a+1.

Offline

 

#5 17. 04. 2011 14:48

fogFrog
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Re: Součet n dolních celých částí odmocnin

↑ anes:Problém v sečtení sumy $
\sum_{k=1}^{n}(2k+1)k$ samozřejmě není. Jenom se mi nezdá, že by $
\sum_{k=1}^{n}(2k+1)k = \sum_{k=1}^{n}\lfloor{\sqrt{k}}\rfloor$ toť vše. Ale tak já a součet řad nejsme zrovna velcí kamarádi, takže mi to třeba dojde časem.

Offline

 

#6 17. 04. 2011 15:09 — Editoval FailED (17. 04. 2011 15:10)

FailED
Příspěvky: 1255
Reputace:   42 
 

Re: Součet n dolních celých částí odmocnin

↑ fogFrog:

To se ti nezdá dobře, na levé straně sčítáš něco většího než $k^2$ a na pravé menšího než $\sqrt{k}$ :)

Rozmysli si přes co a po co sčítáš.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson