Matematické Fórum

wanesa · 16. 04. 2011 20:18

ahoj lidi, kdyby jste měli někdo čas a chuť na pomoc s výpočtem složeného zobrazení byla bych vděčná.

Zadání:

Zobrazeni f R^3->R^2 je dano predpisem (x,y,z)->[x-3*y-4*z, -6*x-3*y-3*z]
Zobrazeni g R^2->R^3 je dano predpisem (x,y)->[x-3*y, -4*x-6*y, -3*x-3*y]
Najdete hodnotu slozeneho zobrazeni f@g v bode (x,y)
f@g(x,y)=f(g(x,y))

prostě nějak nechápu co s tím R^2 a R^3, každá rada je vítána :)

Dana1 · 16. 04. 2011 20:50 — Editoval Dana1 (16. 04. 2011 21:35)

↑ wanesa:

Ak sa nemýlim:

Princíp je ten, že keď vyrábaš f zloženej funkcie, za x vezmeš v predpise pre f x z g(x,y), teda x-3y, za y vezmeš y z g(x,y), teda -4x -6y a rovnako za z.

g: $[\color{red}x-3y; \color{blue}-4x-6y; \color{magenta}-3x-3y\color{black}]$ g je predpis, ktorý vyrába z dvoch súradníc (x;y) tri (x;y;z)

f: $[\color{red}x\color{black}-3\color{blue}y\color{black}-4\color{magenta} z;\color{black}-6\color{red}x\color{black}-3\color{blue}y\color{black}-3\color{magenta}z\color{black}]$ f je predpis, ktorý vyrába z troch súradníc dve , dosadíš a dopočítaš

wanesa · 17. 04. 2011 00:07

↑ Dana1:
nevim jestli se nemýliš, ale když budeme uvažovat, že to je správně, jak to mám na konec dopočítat?

Dana1 · 17. 04. 2011 09:10

↑ wanesa:

Červené z g napíš miesto červeného v f, modré z g napíš miesto modrého v f, fialové z g napíš miesto fialového v f.

To, čo Ti vyjde sa bude dať dopočítať, lebo môžeš "dať spolu" x a tak isto môžeš "dať spolu" aj y. Výsledok bude predpis s dvoma súradnicami, ktorý

bude hovoriť, čo treba urobiť s x a y, aby "vyšiel výsledok", ako sa zobrazí dvojica (x;y) v zloženom zobrazení f@g(x,y)=f(g(x,y)).

Dana1 · 17. 04. 2011 09:42 — Editoval Dana1 (17. 04. 2011 10:34)

Vysvetlenie:

Na číslach:

Dvojici $[1;2]$ sa v zobrazení g priradí trojica (dosadím x,y do predpisu pre g) $\color{blue}[\color{black}1-3\cdot 2\color{red};\color{black}-4\cdot 1 -6\cdot 2\color{red};\color{black} -3\cdot1 -3\cdot 2\color{blue}]\color{black}= [-5\color{red};\color{black} -16\color{red};\color{black} -9]$

Keď skladáš f(g(x)) , tak túto výslednú trojicu máš zobraziť v zobrazení f.

To znamená urobiť to, čo hovorí predpis pre f: $\color{blue}[\color{black}-5 -3\cdot (-16)-4(-9)\color{red};\color{black} -6\cdot(-5)-3\cdot(-16)-3\cdot(-9)\color{blue}]\color{black}=[79\color{red};\color{black} 105]$

Ty robíš toto isté, ibaže nie s číslami, ale s "predpismi". Zložené zobrazenie (Tvoj výsledok) hovorí, ako vyzerajú súradnice toho

dvojnásobného zobrazenia. Predpis zloženej funkcie hovorí, že nemusíš postupovať podľa dvoch predpisov, stačí použiť ten jeden, výsledný.

Zobrazeni g R^2->R^3 je dano predpisem (x,y)->[x-3*y, -4*x-6*y, -3*x-3*y]

Tu je napísané, že ak chceš vidieť obraz dvojice (x,y) v zobrazení g, zober súradnicu x a odrátaj od nej 3 súradnice y, to bude nová súradnica x

(súradnica x obrazu). Potom zober súradnicu x (pôvodnú), vynásob ju číslom -4 a odrátaj od výsledku 6-násobok súradnice y. Keď toto urobíš,

výsledok bude súradnica y obrazu, ktorý vytváraš. A posledná časť hovorí, že súradnicu z obrazu v zobrazení g dostaneš tak, že vytvoríš toto:

-3*x-3*y, kde x a y sú pôvodné hodnoty.

Zobrazeni f R^3->R^2 je dano predpisem (x,y,z)->[x-3*y-4*z, -6*x-3*y-3*z]

Tento predpis zase hovorí, ako vytvoríš obraz v zobrazení f.

Vezmi súradnicu x, ktorú chceš zobraziť. Normálne je to "obyčajné" x, ale my ideme zobrazovať x, ktoré vzniklo zobrazením g. Takže do predpisu

nebudeme dosádzať "normálne" x, ale to vytvorené, označené u mňa červenou farbou... atď.

wanesa · 17. 04. 2011 10:38

↑ Dana1:
vychází mi souřadnice 25x+27y ; 15x+45y pokud jsem to pochopila dobře a to jen stačí dosadit do předpisu f@g(x,y)=f(g(x,y))?
To by byl výsledek f@g(x,y)=f(g(25x+27y,15x+45y)), nebo to chápu špatně?

Dana1 · 17. 04. 2011 11:06 — Editoval Dana1 (17. 04. 2011 13:28)

↑ wanesa:

Ak naozaj platí, to čo si zadala, a síce, že $(f \circ g)(x,y)=f(g(x,y))$ , tak:

Myslím, že odpoveď je $(f \circ g)(x,y)=f(g(x,y))= [25x+27y,15x+45y]$

Toto je výsledný predpis, ktorý vznikne skladaním zadaných predpisov f a g. Miesto postupného dosadzovania do dvoch predpisov stačí dosadiť do tohto jedného, výsledného.
Pozor, zloženie g(f(x)) by malo výsledný predpis iný...

Výsledok sa dá skontrolovať :

Ak dosadíš do tohto výsledného predpisu súradnice [1;2], mala by Ti vyjsť tá istá dvojica, ako mne, keď som skladala tie zobrazenia postupne.

wanesa · 18. 04. 2011 08:51

↑ Dana1:
děkuji moc, už to chápu:)!

Matematické Fórum

#1 16. 04. 2011 20:18

Hodnota složeného zobrazení

#2 16. 04. 2011 20:50 — Editoval Dana1 (16. 04. 2011 21:35)

Re: Hodnota složeného zobrazení

#3 17. 04. 2011 00:07

Re: Hodnota složeného zobrazení

#4 17. 04. 2011 09:10

Re: Hodnota složeného zobrazení

#5 17. 04. 2011 09:42 — Editoval Dana1 (17. 04. 2011 10:34)

Re: Hodnota složeného zobrazení

#6 17. 04. 2011 10:38

Re: Hodnota složeného zobrazení

#7 17. 04. 2011 11:06 — Editoval Dana1 (17. 04. 2011 13:28)

Re: Hodnota složeného zobrazení

#8 18. 04. 2011 08:51

Re: Hodnota složeného zobrazení

Zápatí