Matematické Fórum

rogue34 · 17. 04. 2011 21:48

Ahoj,
mám problém ještě s tímhle příkladem. Je to příklad z Petákové a v zadání nepíšou, o jakou kuželosečku jde. Chtěl sem si spočítat příklad na kružnici, ale nevím, jestli jsem vybral to správné zadání, nicméně, tady to je:
-
Napište rovnice tečen, které lze sestrojit z bodu M k dané kuželosečce. Určete souřadnice bodů dotyku T_1,T_2.:
M[0;-1]; (x - 2)^2 + y^2 = 1
-
Díky.

Dana1 · 17. 04. 2011 21:50 — Editoval Dana1 (17. 04. 2011 21:52)

↑ rogue34:

Kužeľosečka je kružnica, stačí si dobre pozrieť rovnicu.

rogue34 · 17. 04. 2011 21:52

↑ Dana1:
tak bezva, ale teď to potřebuju ještě pomoc spočítat :D

Dana1 · 17. 04. 2011 21:56 — Editoval Dana1 (17. 04. 2011 21:58)

↑ rogue34:

Hľadáš priamku idúcu cez bod M takú, ktorá má s kružnicou jediný priesečník - odporúčam smernicový tvar.

Zapísať rovnicu priamky idúcej cez bod M.

Vyjadriť z nej 1 neznámu a dosadiť do rovnice kružnice.

Vyriešiť kvadratickú rovnicu tak, aby priesečník existoval len jeden (čo musí platiť pre D? )

rogue34 · 17. 04. 2011 22:07

↑ Dana1:
to moc nechápu, moc mi to nedává smysl:

Zapísať rovnicu priamky idúcej cez bod M.: ax + by + c = 0 -> -b + c = 0 -> jak to mám teď dosadit, když tam mám uplně jiný neznámý?

ještě mě napadlo, že bych si mohl napsat rovnici tečny v tomto tvaru: (x-m)*(x_0-m)+(y-n)*(y-n_0)=r^2 ... za x_0 a y_0 bych si dosadil souřadnice bodu M ... to i vyšlo: 2x+y-3=0 ...teď bych si dal tuhle rovnici a tu rovnici ze zadání do soustavy, ale pak mi to nevychází podle výsledků...

halogan · 17. 04. 2011 22:11

A co takhle Thaletovu kružnici? Přeci jen dotyčnice musí být kolmá na úsečku procházející z bodu dotyku ke středu, ne?

zdenek1 · 17. 04. 2011 22:14

A nebo si pročti tohle

Dana1 · 17. 04. 2011 22:36

↑ rogue34:

Odporučila som smernicový tvar (y = kx + q), q sa vypočíta a k sa potom vyráta z podmienky pre dvojnásobný koreň, ale sú aj iné možnosti...

Cheop · 18. 04. 2011 07:53 — Editoval Cheop (18. 04. 2011 10:34)

↑ rogue34:
Existuje i jiný způsob:
Pro přímku, která prochází tečnými body kružnice se středem $S=(m;\,n)$ o rovnici
$(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$ , která je vidět z vnějšího bodu kružnice $X=(x_0;\,y_0)$
platí:
$(x-m)(x_0-m)+(y-n)(y_0-n)=r^2$
Pro náš případ:
$(x-2)(0-2)+(y-0)(0-1)=1\\-2x+4-y=1\\2x+y-3=0\\y=3-2x$
Souřadnice tečných bodů získáme jako průsečík kružnice s touto přímkou.
Řešíme tedy soustavu rovnic:
$(x-2)^2+y^2=1\\y=3-2x$
$x^2-4x+4+9-12x+4x^2=1\\5x^2-16x+12=0\\x_1=2\\x_2=\frac 65$
$y=3-2x\\y_1=3-2\cdot 2\\y_1=-1\\y_2=3-2\cdot\frac 65\\y_2=\frac 35$
Tečné body:
$T_1=(2;\,-1)\\T_2=\left(\frac 65;\,\frac 35\right)$
Rovnice tečen určíme jako přímku procházející bodem M a tečnými body.
To už nechám na tobě
Tečny by ti měly vyjít: