Matematické Fórum

rumik · 18. 04. 2011 16:15

ahoj. prosim poradte mi s jednim konkretnim prikladem. dostal jsem ho za ukol, ale vubec si nevim rady :(

Najdete lokální extrémy funkce f(x; y) = x + 2y - 1 na mnozine x2 + y2 = 1:

vim ze by se to melo delat nejak pres parcialni derivace a taky jsem to zkousel, ale ve skole nam vzdycky vysly nejake rovnice ze kterych jsme následne vydolovali body a pak jsme hodnotili jestli to jsou extremy nebo ne... ale v tomhle pripade mi po derivaci vyjdou realna cisla (pukud to teda delam spravne)... diky za vsechny rady a postupy... v tehle latce jsem uplne mimo... dik

maly_kaja_hajnejch-Lazov · 18. 04. 2011 16:25

Funkce tim padem na te mnozine nema lokalni extremy, protoze ty rovince co se sestavi se nedaji vyresit. Otazkou zustava, jestli mate dobre zadani a jestli se nemaji heldat treba absolutni extremy. Tomu by napovidalo, ze je zadana nejaka mnozina. I kdyz ta mnozina je zadana nejak podivne. Mozna spis takhle? $x^2+y^2=1$

Marian · 18. 04. 2011 16:55

↑ rumik: Tohle je klasická úloha na vázané extrémy. Vzhledem k zadané funkci $f(x,y)=x+2y-1$ a vazební křivce $x^2+y^2=1$ je jasné, že nalezneme ostré vázané lokální minimum a maximum (jedná se o projekci jednotkové kružnice do roviny nerovnoběžné s rovinami sevřenými souřadnicovými osami).

Zkonstruuje se Lagrangeova funkce

$L(x,y,\lambda):=x+2y-1+\lambda (x^2+y^2-1),$

která se nyní derivuje parciálně podle $x$ , $y$ a $\lambda$ . Nalezení stacionárních bodů a diskse o extrémech je zde také snadná.

Předveď konkrétní výpočet, ať je jasné, kde děláš chybu.

rumik · 19. 04. 2011 16:45

diky za radu. podle ni jsem si teda napsal: L(x, y, lamda (dale L)) = x + 2y - 1 +Lx^2 + Ly^2 - L
a zderivoval jsem to
podle x: 1 + 2Lx
podle y: 2 + 2Ly
podle L: x^2 + y^2 - 1

z derivace podle x jsem vyjadril L = -1 / 2x
L jsem dosadil do derivace podle y. vyslo x = y/2
to jsem dosadil do derivace podle L. vyslo y = (2 * 5^0,5) / 2 a nasledne x = (5^0,5)/2.
tohle ale neni spravny vysledek a ani nevim jestli jsem to takhle delal spravne...

jelena · 20. 04. 2011 09:27

↑ rumik:

Zdravím,

soustava (po derivování) se mi zdá v pořádku:

$1 + 2\lambda x=0$ odsud jsem vyjádřila $x=-\frac{1}{2\lambda}$
$2 + 2\lambda y=0$ odsud $y=-\frac{1}{\lambda}$
$x^2 + y^2 - 1=0$ sem dosadím x, y:

$$-\frac{1}{2\lambda}$^2 + $-\frac{1}{\lambda}$^2 - 1=0$

výsledkem jsou 2 hodnoty $\lambda$ - je to tak?

↑ maly_kaja_hajnejch-Lazov:, ↑ Marian:

vzacné kolegy srdečně zdravím :-)

Marian · 20. 04. 2011 10:38 — Editoval Marian (20. 04. 2011 10:41)

↑ jelena:↑ rumik:

Da se skutečně postupovat tak, jak oba píšete. V obecnějších případech může ale dojít k problému tzv. vyjadřování x nebo y. Vzhledem k tomu, že lambda se vyskytuje v každé rovnici soustavy

$\frac{\partial L}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial L}{\partial y}=0,\qquad x^2+y^2=1$

nejvýše jednou a v přirozené podobě, bývá o mnoho snažší vyjádření koeficientu lambda z první a druhé rovnice. Zde ale problém nevidím. Mimo jiné, dostaneme

$\lambda =-\frac{1}{y},\qquad \lambda =-\frac{1}{2x}.$

Odtud porovnáním Lagrangeova multiplikátoru lambda dostáváme vztah mezi proměnnými x a y, totiž

$-\frac{1}{y}=-\frac{1}{2x}\qquad\Rightarrow\qquad y=2x.$

Dosazením tohoto vztahu do vazební rovnice dostáváme

Zde je třeba dát pozor na znaménka $\pm$ . To již naznačila ale kolegyně jelena. Řešením soustavy tří rovnic o neznámých $x$ , $y$ a $\lambda$ jsou aritmetické vektory $(x_i,y_i,\lambda_i)$ :

$(x_1,y_1,\lambda _1)=\left (\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{-\sqrt{5}}{2}\right),\qquad (x_2,y_2,\lambda _2)=\left (\frac{-1}{\sqrt{5}},\frac{-2}{\sqrt{5}},\frac{\sqrt{5}}{2}\right).$

Stačí nyní spočítat hessián pro sestavenou Lagrangeovu funkci. Dostaneme snadno:

$\det{\mathbf{H}(x,y,\lambda )}= \begin{vmatrix} 2\lambda & 0\\ 0& 2\lambda \end{vmatrix}=4\lambda ^2.$

Ten nezávisí ani na $x$ ani na $y$ . Pro nenulová $\lambda$ (to je náš případ), je také nenulový, tedy Lagrangeova funkce má v daných bodech $A_0=\left (\tfrac{1}{\sqrt{5}},\tfrac{2}{\sqrt{5}}\right)$ a $B_0=\left (\tfrac{-1}{\sqrt{5}},\tfrac{-2}{\sqrt{5}}\right)$ lokální extrémy (nevázané při daných $\lambda$ ). Ze zanménka druhé derivace Lagrangeovy funkce podle $x$ se snadno zjistí, ve kterém bodě má lokální maximum a lokální minimum (obojí ostré verze). Odtud již plyne existence vázaných extrémů původní funkce při dané vazbě.