Matematické Fórum

Pajaa · 18. 04. 2011 19:31

Dobrý den, mám zadanou rovnici:
$x(3-x)=3-i$
upravím to a vznikne:
$x^2-3x+3-i=0$
$D=9-4(3-i)=-3+4i$ odmocňování tohoto diskriminantu je blbost, že?
kořeny mají podle výsledků vyjít: $2+i;1-i$ ale nevím, jak se k nim dopracovat. Děkuji za každou radu.

byk7 · 18. 04. 2011 19:39

↑ Pajaa:
$(-3+4\mathrm{i})=-4+4\mathrm{i}+1=(2\mathrm{i}+1)^2$

Pajaa · 18. 04. 2011 20:06

Děkuji, tak teďka to chápu, ale v dalším příkladu mi vyjde diskriminant: $84+80i$ a nevím, jak to rozložit..

zdenek1 · 18. 04. 2011 21:06

↑ Pajaa:
$100+2\cdot10\cdot4i-16$

Rumburak

↑ Pajaa:
Pochopil jsem, že Tě zajímá METODA, jak to řešit i v případě, že Tě způsob, jak odmocnit diskriminant, nenapadne.
Ukážeme si ji na prvním příkladě. Mějme tedy rovnici

(1) $x^2-3x+3-i=0$ .

Je zřejmé, že pokud má mít řešení (podle Základní věty algebry řešení má) , bude to řešení imaginární.

EDIT: Správný postup uvádím v následujícím příspěvku, původně doporučovaný postup

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

beru zpět.

Rumburak

DODATEK a OPRAVA k ↑ Rumburak: :

S rovnicí $x^2-3x+3-\mathrm i=0$ postupujeme metodou doplnění na čtverec, získáme

(1) $\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} - 3 + \mathrm i = -\frac{3}{4} + \mathrm i$ .

Nyní položíme $x -\frac{3}{2}= u +\mathrm i \,v$ , u, v reálná. Dosazením do (1) dotáváme $u^2 - v^2 + 2uv\,\mathrm i = -\frac{3}{4} + 1\,\mathrm i$ ,

kýžená soustava tedy bude $u^2 - v^2 = -\frac{3}{4}$ , $2uv = 1$ . Když první z těchto rovnic vynásobíme číslem $u^2$ ,
dostaneme (vzhledem ke druhé rovnici) $u^4 - \frac{1}{4} = -\frac{3}{4}u^2$ , neboli $4(u^2)^2 +3u^2- 1 = 0$ .

Odtud postupně $u^2 =\frac {-3 + \sqrt{25}}{8} = \frac {1}{4}$ (záporný kořen kvadratické rovnice nás nezajímá, ježto u je reálné
a proto $u^2 \ge 0$ ),

$u_{1,2} = \pm \frac{1}{2}$ .

Další postup je jistě zřejmý.

BakyX · 19. 04. 2011 17:05 — Editoval BakyX (19. 04. 2011 17:08)

Dovolil by som si pridať všeobecný vzorec pre výpočet druhej odmocniny komplexného čísla:

$\sqrt{a+bi}=\pm(\frac{b \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}}{\sqrt{a^2+b^2}-a}+i.\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}})$

byk7 · 19. 04. 2011 17:45

↑ BakyX:
řekl bych, že je výhodnější si převést číslo do goniometrického tvaru:
$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\cdot e^{$\varphi+2k\pi$\mathrm{i}/n} = \sqrt[n]{|z|}\cdot$\cos\({\frac{\varphi+2k\pi}{n}}$+\mathrm{i}\sin${\frac{\varphi+2k\pi}{n}}$\)$

BakyX · 19. 04. 2011 18:12

↑ byk7:

Keď máš istotu, že druhá odmocnina toho čísla JE nejaké komplexné číslo s racionálnymi koeficientami, tak máš pravdu..

Inak by máloktorá kalkulačka "spočítala" presnú hodnotu niektorých kosínus a sínus funckí. Dúfam, že mi rozumieš.

byk7 · 19. 04. 2011 18:15

↑ BakyX:
každé reálné číslo je současně komplexní, takže jistotu mám

musixx · 20. 04. 2011 07:05

↑ BakyX: Věřím, že ten vzorec jsi napsal dobře. Na první pohled ale nemůže správně fungovat v případě b=0 (dělí se nulou, je-li 'a' nezáporné), což člověk snadno ošetří v případě odmocňování konkrétního čísla, ale tady se vlákno stočilo na případ obecný.

Moivreova věta je však minimálně snadněji zapamatovatelná. Máš ale pravdu, že dá-li třeba zmíněná kalkulačka nějaký na první pohled jednoduchý výsledek, bylo by třeba se buď pídit po na papíře spočítaných hodnotách sinů a kosinů (dost pravděpodobně by šlo o hezké úhly), nebo by v úvahu připadala i zkouška umocněním výsledku, který bychom podle kalkulačky očekávali (třeba právě v případě zmíněných racionálních složek).

musixx · 20. 04. 2011 07:28 — Editoval musixx (20. 04. 2011 07:41)

Poznámka: V následujícím rozlišuju reálná, komplexní a komplexní nereálná čísla, aby nedošlo k mýlkám.

Dá se ukázat, že i v případě komplexních koeficientů a,b,c u kvadratického polynomu $ax^2+bx+c$ (tedy $a\neq0$ ) platí, že jeho kořeny jsou tvaru $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ .

Na první pohled, protože odmocniny jsou obecně dvě, to vypadá na čtyři řešení. Není-li ale kořen násobný, pak pro jednu konkrétní odmocninu dostáváme různá řešení, a pro tu druhou dostaneme stejné výsledky. Stačí tedy vzít jednu nějakou druhou odmocninu diskriminantu. EDIT: V případě násobných kořenů, tedy nulového diskriminantu, je situace jasná.

Ono stejně je to v případě čísel reálných. I zde na fóru proběhla diskuze, kterou bych nerad znova otevíral, je-li $\sqrt4$ pouze 2 anebo také -2. Brali-li bychom i tu -2 (ač se k tomu moc nekloním), jen si vymění význam $\pm$ a $\mp$ . Úplně stejně se to stane v případě komplexního nereálného diskriminantu (EDIT: poznámka: ale může se stát, že koeficienty jsou komplexní nereálné, zatímco diskriminant reálný je), jak je ostatně vidět i ze vzorce, který psal BakyX výše (bez výhrad pro $b^2-4ac$ s nenulovou imaginární složkou) -- dva výsledky jako komplexní čísla se liší také jen znaménkem.

Závěr: Známý vzorec pro kořeny kvadratického polynomu je platný i pro polynomy s komplexními koeficienty, jako druhou odmocninu z diskriminantu je možno brát kteroukoli ze (dvou) jeho komplexních druhých odmocnin (pro výpočet obou kořenů samozřejmě tu stejnou druhou odmocninu diskriminantu).

Rumburak

↑ BakyX:
Pouze doplňující poznámka.

Řešení ryze kvadratické rovnice $z^2 = a + b\,\mathrm{i}$ pro $a, b \in \mathbb{R}, \,\,b \ne 0$ se dá vyjádřit v poněkud přehlednějším tvaru

(1) $z_{1,2}=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}} \,\,+\, \,\mathrm i \cdot \mathrm{sgn}\, b \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right)$ .

Funkce sgn je definována zde . Význam druhé odmocniny z čísla $c \ge 0$ je v (1) stejný jako v teorii reálných funkcí, tedy
$\sqrt{c}$ je NEZÁPORNÝ kořen rovnice $x^2 = c$ .

Vzorec (1) platí i v případě, že $b = 0 \wedge a \ge 0$ . (Pro $b = 0 \wedge a < 0$ však vzorec (1) NEPLATÍ.)

byk7 · 22. 04. 2011 10:31

↑ Rumburak:
jenom pro moje upřesnění,měl jsi na mysli $\ldots+\mathrm{i}\cdot\mathrm{sgn}(b)\cdot\sqrt{\ldots}$ ?

Rumburak · 22. 04. 2011 10:41

↑ byk7: Ano, přesně tak.
Tu závorku v sgn(x) je zvykem v jednoduchých případech vynechávat podobně jako u logaritmických, goniometrických a některých dalších funkcí .
Kdyby se funkce sgn měla aplikovat na složitější výraz, závorka by se samozřejmě použít měla, např. sgn (a.b) .

byk7 · 22. 04. 2011 10:47

↑ Rumburak:
já radši závorky používám vždy, tak se 100% vyhnem nejasnosti, ale děkuji

Matematické Fórum

#1 18. 04. 2011 19:31

Rovnice s komplexními čísly

#2 18. 04. 2011 19:39

Re: Rovnice s komplexními čísly

#3 18. 04. 2011 20:06

Re: Rovnice s komplexními čísly

#4 18. 04. 2011 21:06

Re: Rovnice s komplexními čísly

#5 19. 04. 2011 09:58 — Editoval Rumburak (19. 04. 2011 17:05)

Re: Rovnice s komplexními čísly

#6 19. 04. 2011 16:14 — Editoval Rumburak (19. 04. 2011 16:29)

Re: Rovnice s komplexními čísly

#7 19. 04. 2011 17:05 — Editoval BakyX (19. 04. 2011 17:08)

Re: Rovnice s komplexními čísly

#8 19. 04. 2011 17:45

Re: Rovnice s komplexními čísly

#9 19. 04. 2011 18:12

Re: Rovnice s komplexními čísly

#10 19. 04. 2011 18:15

Re: Rovnice s komplexními čísly

#11 20. 04. 2011 07:05

Re: Rovnice s komplexními čísly

#12 20. 04. 2011 07:28 — Editoval musixx (20. 04. 2011 07:41)

Re: Rovnice s komplexními čísly

#13 22. 04. 2011 10:22 — Editoval Rumburak (22. 04. 2011 10:31)

Re: Rovnice s komplexními čísly

#14 22. 04. 2011 10:31

Re: Rovnice s komplexními čísly

#15 22. 04. 2011 10:41

Re: Rovnice s komplexními čísly

#16 22. 04. 2011 10:47

Re: Rovnice s komplexními čísly

Zápatí