Matematické Fórum

hubic · 18. 04. 2011 18:05

Prosím o informaci zda je možné, aby tato fce y= ln(x^2-9) měla pouze maxima. Druhá derivace mě vyšla (-2x^2-18)/(x^2-9)^2, dále prosím o upřesnění konkávností, konvexnosti.
Děkuji.

check_drummer · 18. 04. 2011 18:47

↑ hubic:
Ahoj, co by měla uvedená funkce mít kromě maxim?
O jaké upřesnění se jedná? Definice konvexnosti a konkávnosti ti nepřijde dostatečně přesná?

Rumburak

↑ hubic:
U každé funkce je nutno ujasnit si její definiční obor, jehož role může být pro vyřešení dalších otázek velmi důležitá.
Definiční obor D funkce $f(x):=\ln(x^2-9)$ získáme jako řešení nerovnice $x^2-9 > 0$ (aby měl smysl
logaritmus z její levé strany), tedy $D = (-\infty, -3) \cup (+3, +\infty)$ .

Podívejme se, jak se funkce f chová na intervalu $(+3, +\infty)$ :
funkce $x^2-9$ je na něm rostoucí (neboť je rostoucí na celém intervalu $(0, +\infty)$ ), proto je na $(+3, +\infty)$
rostoucí i funkce $\ln(x^2-9)$ (protože funkce ln je rostoucí a složení dvou rostoucích funkcí je rostoucí funkce) .

Na otevřeném intervalu rostoucí funkce nemůže mít extrém, takže ani funkce f nemá extrém na intervalu $(+3, +\infty)$ .

Otázku extrémů funkce f na intervalu $(-\infty, -3)$ vyřešíme obdobnými úvahami nebo substitucí x = -t do úvah předchozích.

Otázku konvexnosti či konkávnosti fce f vyřešíme zkoumáním znaménka její druhé derivace.

Matematické Fórum

#1 18. 04. 2011 18:05

Funkce

#2 18. 04. 2011 18:47

Re: Funkce

#3 19. 04. 2011 08:21 — Editoval Rumburak (19. 04. 2011 08:27)

Re: Funkce

Zápatí