Matematické Fórum

mikyno12 · 18. 04. 2011 23:23

dobry den

nemozem si poradit s dokazom polovicneho sinusu

$sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-cosx}{2}}$

ale potrebujem to dokazat pomocou vztahu

$sin2x=2sinxcosx$

velmi by mi to pomohlo

dakujem

FailED · 19. 04. 2011 00:42 — Editoval FailED (19. 04. 2011 09:05)

Ahoj,

nic přímočarého mě nenapadá, jen poupravím zadání: $\left |\sin\frac{x}{2}\right |=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2} }$

Využije se $\sin^2x+\cos^2x=1$ a $\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$ , bez prvního se neobejdeme, druhý vzorec je potřeba nejdřív odvodit.

náznak:
$\sin^22x + \cos^22x &=1\\ \cos^22x &= 1-\sin^22x\\ &=1-4\sin^2x\cos^2x\\ &=\sin^2x-\sin^2x\cos^2x-2\sin^2x\cos^2x+\cos^2x-\sin^2x\cos^2x\\ &=\sin^2x(1-\cos^2x)-2\sin^2x\cos^2x+\cos^2x(1-\sin^2x)\\ &=\sin^4x-2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x\\ \cos2x &=\cos^2x-\sin^2x$

Požadovaná nerovnost pak takhle, doporučuji nejdřív zkusit třeba od konce, to znamená upravovat výraz tak, aby ses dostal k něčemu co zřejmě platí.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Michaerl

Zdravím,

$sin\dfrac{x}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - cosx}{2}}$

platí

$sin2x = 2sinxcosx$

$sinx = 2sin\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2}$

$sin\dfrac{x}{2} = \dfrac{sinx}{2cos\dfrac{x}{2}}$

umocníme na druhou a vyjádříme sinx/2(jeho abs. hodnotu)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

mikyno12 · 19. 04. 2011 10:12

velmi pekne dakujem

a este by som potreboval dokazat

$sin 2x=2sinx.cosx$

pomocov tohoto vzorca

$cos 2x=cos^2 x - sin^2 x$

Rumburak

↑ mikyno12:

Neodpovím přesně na dotaz, ale ukážu další souvislosti.

Moivreova věta říká:

(1) $(\cos x + \mathrm i \sin x)^2 = \cos 2x + \mathrm i \sin 2x$ ,

klasické umocnění dává:

(2) $(\cos x + \mathrm i \sin x)^2 = \cos^2 x - \sin^2 x + 2\,\mathrm i \sin x \cos x$ ,

Porovnáním pravých stran identit (1), (2) dostaneme OBA vzorce.

Cheop · 19. 04. 2011 10:53 — Editoval Cheop (19. 04. 2011 15:30)

↑ mikyno12:
$\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos^2x-(1-\cos^2x)=2\cos^2x-1$
$\sin(2x)=\sqrt{1-\cos^22x}$
$\cos^2 2x=4\cos^4x-4\cos^2x+1$
$\sin(2x)=\sqrt{1-(4\cos^4x-4\cos^2x+1)}\\\sin(2x)=\sqrt{4\cos^2x-4\cos^4x}\\\sin(2x)=\sqrt{4\cos^2x(1-\cos^2x)}\\\sin(2x)=2\cos\,x\sqrt{1-\cos^2x}\\\sin(2x)=2\cos\,x\cdot\sin\,x$

Pro ↑ Rumburak: - promiň - nevšiml jsem si.

Rumburak · 19. 04. 2011 11:31

↑ Cheop:

Není proč se omlouvat, já jsem udělal chybu, že jsem se překlikl a odeslal prázdný příspěvek.

Mimochodem:

Tvůj postup je založen na vtipné myšlence, ale pozor na to, že vzorec $\sqrt{A^2} = A$ platí pouze v případě, že $A \ge 0$ ,
obecně $\sqrt{A^2} = |A|$ . Tvůj důkaz je tedy prozatím platný pouze v případě, že $\cos x \ge 0 \wedge \sin x \ge 0 \wedge \sin 2x \ge 0$ ,
resp. de facto jsi dokázal pouze $|\sin 2x|=2\cdot|\sin x|\cdot |\cos x|$ .

Krom toho ve čtvrtém řádku máš překlep, místo -1 tam mělo být +1 .

Tak jen doufám, že jsem Tě nenamíchl, to bych nechtěl :-).