Matematické Fórum

Asinkan

Ahoj, potřebuju dokázat, že

$|\mathbf{A}|\mathbf{x}_i=|\lambda_i|\mathbf{x}_i$

$\mathbf{x}_i$ je vlastní vektor, $\lambda_i$ vlastní číslo.
$|\mathbf{A}|$ značí matici, která vznikla následovně:

Matici $\mathbf{A}$ lze diagonalizovat, tedy
$\mathbf{A}=\mathbf{X}\mathbf{\Lambda}\mathbf{X}^{-1}$ zde $\mathbf{\Lambda}$ je spektrální a $\mathbf{X}$ modální matice.

Nyní uděláme-li absolutní hodnotu všech vl. č. v matici $\mathbf{\Lambda}$ , tj. $|\mathbf{\Lambda}|=diag(|lambda_1|,|lambda_2|,...,|lambda_n|)$ a vrátíme je tam, a znovu přenásobíme modální maticí

$|\mathbf{A}|=\mathbf{X}|\mathbf{\Lambda}|\mathbf{X}^{-1}$ .

KAM JSEM SE DOSTAL:
Platí $|\mathbf{\Lambda}|=\mathbf{\Lambda}^+-\mathbf{\Lambda}^-$ kde ty matice s indexy jsou spektrální matice s pouze kladnými, či pouze zápornými vl. č.
tedy:
$\mathbf{X}\left( \mathbf{\Lambda}^+-\mathbf{\Lambda}^-\right)\mathbf{X}^{-1}\mathbf{x}_i= \mathbf{X} \mathbf{\Lambda}^+\mathbf{X}^{-1}\mathbf{x}_i-\mathbf{X} \mathbf{\Lambda}^-\mathbf{X}^{-1}\mathbf{x}_i=|\lambda_i| \mathbf{x}_i$ a to poslední rovnáse nevim jak dokázat.

Stýv · 19. 04. 2011 22:40

a není to tak nějak zřejmý z toho, že $|\lambda_i|$ je vlastním číslem matice $|A|$ ?

Asinkan

↑ Stýv:
Máš pravdu je to tak:-> Jen nevim, jak dokázat, že je to opravdu vlastní číslo. A ještě neni úplně tak zřejmý (ale platí to), že ty původní vlastní vektory budou stejný jako ty toho $\mathbf{|A|}$ z toho by pak plynulo $X|\Lambda|X^{-1}x_i=|\lambda_i|x_i$

Stýv · 20. 04. 2011 00:37

je to vlastní číslo, protože je na diagonále spektrální matice. a vlastní vektory jsou ve sloupcích X, takže se nemění

Matematické Fórum

#1 19. 04. 2011 21:48 — Editoval Asinkan (19. 04. 2011 21:59)

Diagonalizace matic, rozklad

#2 19. 04. 2011 22:40

Re: Diagonalizace matic, rozklad

#3 19. 04. 2011 23:24 — Editoval Asinkan (19. 04. 2011 23:27)

Re: Diagonalizace matic, rozklad

#4 20. 04. 2011 00:37

Re: Diagonalizace matic, rozklad

Zápatí