Matematické Fórum

Matej1117 · 23. 04. 2011 11:13

Ahojte, mam otazku, da sa vypocitat kolko clenov harmnickej rady musime spocitat aby sme dostali urcite cislo?? Napriklad aby sme prekrocili cislo 1, staci spocitat prve tri cleny, aby sme prekrocili cislo 2 musime spocitat 10 clenov.. Povie mi niekto kolko clenov musim spocitat ak chcem dostat cislo 100 ??

Pavel Brožek

Ahoj,

řekl bych, že je nereálné určit počet členů přesně.

Určitě se dá udělat odhad:

$\int_1^{n+1} \frac1x\,\mathrm{d}x<\sum_{k=1}^n \frac1k<1+\int_1^n\frac1x\,\mathrm{d}x$

(tento odhad se získá tak, že vezmeš funkci $\frac1x$ a zkusíš obsah plochy pod křivkou na intervalu $(1,n)$ (resp. $(1,n+1)$ ) odhadnout pomocí obdélníčků se stranami na ose x o délce 1)

Po vypočtení integrálů máme

$\ln (n+1)<\sum_{k=1}^n \frac1k<1+\ln n$ .

Pokud má pro nějaké n platit

$\sum_{k=1}^n\frac1k>100$ ,

musí také platit

$1+\ln n>100$

a tedy

$n>\mathrm{e}^{99}$ .

Je to jen velmi hrubý dolní odhad. Je z něj ale vidět, že to číslo bude obrovské.

Matej1117 · 23. 04. 2011 11:47

to ze bude obrovske som si myslel, aj ked nemam bohvie aky dobry odhad..pises ze je to len velmi hrubo odhadnute, neda sa to spresnit?

Pavel Brožek · 23. 04. 2011 11:50

↑ Matej1117:

Určitě dá, ale nevím jak.

Pavel Brožek · 23. 04. 2011 11:59

Abych to ještě dokončil:

Pokud bude $\ln(n+1)\ge101$ , tak je jasné, že už jsme moc daleko. Pro to n, které nás zajímá, tak určitě platí $\ln(n+1)<101$ , což je po úpravě $n<\mathrm{e}^{101}-1$ . Máme tak interval $(\mathrm{e}^{99},\mathrm{e}^{101})$ (ta mínus jednička tam je nezajímavá vzhledem k velikosti čísel, proto jsem ji vynechal), v kterém hledané n musí být. Z toho například můžeme usoudit, že počet cifer toho n v desítkové soustavě bude 43 nebo 44. :-)

Matej1117

fuha .. dobry si natoto by som ja neprisiel ..

Pavel Brožek

Pokud program Mathematica někde při vyčíslování funkce HarmonicNumber nedělá chybu, tak první číslo, při kterém součet překročí stovku je:

15092688622113788323693563264538101449859497

Zdroják (postupoval jsem pomocí půlení intervalu, asi na to ale bude lepší postup):

Code:

a=10^42;b=10^44;
For[i=1,i<200,i++,
    If[HarmonicNumber[(a+b)/2]>100,
        b=(a+b)/2,
        a=(a+b)/2
    ]
]

Pavel Brožek

Podívej se na odkaz. Netušil jsem, že je možné pro velká n tak jednoduše s velkou přesností vyčíslovat harmonická čísla.

Takže nejjednodušší bude asi sestavit si algoritmus, který (třeba pomocí půlení intervalu) hledané n najde. Vyjádřit to číslo obecně a jednoduše pomocí nějaké „inverzní funkce“ předpokládám nepůjde.

Edit: Teď dokonce koukám, že v tom článku uvádějí přesně to číslo, které jsem ti napsal :-).

Stýv · 23. 04. 2011 12:42

↑ Pavel Brožek: a co odhad $\exp(100-\gamma)$ ? viz http://www.wolframalpha.com/input/?i=ex … 1449859497

Pavel Brožek

↑ Stýv:

Máš pravdu, to je poměrně dobrá inverzní formule pro velká n :-).

Matej1117 · 23. 04. 2011 13:01

sila :) diki chalani ..

Matej1117 · 23. 04. 2011 13:07

Stýv napsal(a):
↑ Pavel Brožek: a co odhad $\exp(100-\gamma)$ ? viz http://www.wolframalpha.com/input/?i=ex … 1449859497

to ypsilon je co?

Stýv · 23. 04. 2011 13:27

↑ Matej1117: to ypsilon není ypsilon, ale Eulerova konstanta $\gamma$ [gama]

Matej1117

aha s tou eulerouvou konstantou som sa uz stretol tusim sa rovnala 0.5... tak nejak ne?? na wikipedii si najdem presnu hodnotu ..

Pavel Brožek · 23. 04. 2011 13:38

↑ Matej1117:

Ano.

Matematické Fórum

#1 23. 04. 2011 11:13

harmonicka rada

#2 23. 04. 2011 11:43 — Editoval Pavel Brožek (23. 04. 2011 11:49)

Re: harmonicka rada

#3 23. 04. 2011 11:47

Re: harmonicka rada

#4 23. 04. 2011 11:50

Re: harmonicka rada

#5 23. 04. 2011 11:59

Re: harmonicka rada

#6 23. 04. 2011 12:06 — Editoval Matej1117 (23. 04. 2011 12:06)

Re: harmonicka rada

#7 23. 04. 2011 12:22 — Editoval Pavel Brožek (23. 04. 2011 12:24)

Re: harmonicka rada

Code:

#8 23. 04. 2011 12:33 — Editoval Pavel Brožek (23. 04. 2011 12:38)

Re: harmonicka rada

#9 23. 04. 2011 12:42

Re: harmonicka rada

#10 23. 04. 2011 12:49 — Editoval Pavel Brožek (23. 04. 2011 12:49)

Re: harmonicka rada

#11 23. 04. 2011 13:01

Re: harmonicka rada

#12 23. 04. 2011 13:07

Re: harmonicka rada

Stýv napsal(a):

#13 23. 04. 2011 13:27

Re: harmonicka rada

#14 23. 04. 2011 13:34 — Editoval Matej1117 (23. 04. 2011 13:34)

Re: harmonicka rada

#15 23. 04. 2011 13:38

Re: harmonicka rada

Zápatí