Matematické Fórum

Deny · 28. 04. 2010 20:28

mame lichobežnik rovnoramenný ABCD ktorý ma kolme uhloopriečky na seba a dlžka strednej priečky je 20 cm ...potrebujem vypociiitat obsah....PROSIM,JE TO SURNE!!:)

Ivana · 28. 04. 2010 21:22

↑ Deny: Tak snad pomůže obrázek :

Dana1 · 23. 04. 2011 19:22 — Editoval Dana1 (23. 04. 2011 19:26)

↑ Deny:

Keď sa urobí obrázok s uhlopriečkami, vidno, že každá z uhlopriečok je zložená z dvoch častí, napríklad x,y. Keď ich priesečník označím P, vidno, že obsah lichobežníka pozostáva z obsahov trojuholníkov ABP, CDP a ADP, BCP. Obsahy možno zapísať vzťahmi:

$S_{ABP} = \frac{x^2}{2}$ , $S_{CDP} = \frac{y^2}{2}$ , $S_{BCP} = S_{ADP} = \frac{xy}{2}$

Po zrátaní všetkých štyroch obsahov dostaneme

$S_{ABCD} = \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + 2\cdot \frac{xy}{2}$

Ak vynásobíme menovateľom, vyjde

$\color{red}2\cdot S_{ABCD}\color{black} = x^2 + y^2 + 2\cdot xy =\color{blue} (x + y)^2$

Súčasne pre trojuholník ABP platí $2x^2 = a^2$ , z toho $\sqrt 2 x = a$ , rovnako pre trojuholník CDP $\sqrt 2 y = c$

Pretože zo zadania platí $\frac{a+c}{2} = 20$ , platí tiež $\frac {\sqrt 2 x + \sqrt 2 y}{2} = 20$ , odtiaľ ľahko $(x + y) = \frac{40}{\sqrt2}$

a po úprave $\color{red}(x + y) \color{black}= \frac{40\cdot \sqrt 2}{2} \color{red}= 20\sqrt2$

Z posledného vzťahu vyplýva, že $\color{blue}(x + y)^2\color{black}= 400\cdot 2\color{blue}= 800$

Dosadením do červeného vzťahu pre obsah lichobežníka $\color{red}2\cdot S_{ABCD} = \color{blue} 800$ a z toho už $\color{magenta} S_{ABCD} = 400 (\text cm^2)$

Matematické Fórum

#1 28. 04. 2010 20:28

Obsah

#2 28. 04. 2010 21:22

Re: Obsah

#3 23. 04. 2011 19:22 — Editoval Dana1 (23. 04. 2011 19:26)

Re: Obsah

Zápatí