Matematické Fórum

wilzef · 26. 04. 2011 08:16

Ahoj mám problém s tímto příkladem
Dokaž, že pro všechna n z N platí $6/(n^2+5n)$

Dokázala jsem, že to pro jedničku platí $6/6$

Potom $n=k+1 \Rightarrow 6/(k^2+2k+1+5k+5)$

a teď přepokladem bylo, že $6/(k^2+5k)$ ,

a mám problém s tím zbytkem - vyjde mi že .. jenže toto číslo přece není dělitelné dvěmi a třemi zároveň, takže není ani šesti.

Poradí mi někdo? Děkuji :)

Honzc · 26. 04. 2011 08:33

↑ wilzef:
Co se to má vlastně dokázat? Zkus to popsat slovně.

wilzef · 26. 04. 2011 08:37

↑ Honzc:

Že číslo šest dělí tento výraz

Honzc · 26. 04. 2011 08:43

↑ wilzef:
A proč máš v původním zadání 5n a teď pouze 5?
Pro ten původní ani ten nový to totiž neplatí.
Pozn. Předpokládám, že chceš aby výraz byl dělitelný 6-ti beze zbytku.

wilzef · 26. 04. 2011 08:47 — Editoval wilzef (26. 04. 2011 08:48)

↑ Honzc:

ano pardon,
mám tam víc chyb ..... když jsem se to pak snažila počítat i s opraveným zadáním, tak mi to stejně nevyšlo, takže to zadání má vypadat takto

A jo .. má to být dělitelný beze zbytku

Honzc · 26. 04. 2011 09:16

↑ wilzef:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Dana1 · 26. 04. 2011 09:22 — Editoval Dana1 (26. 04. 2011 09:34)

↑ wilzef:

Takže ja som skúsila tú matematickú indukciu:

Urobíš všetko ako treba. Časť $k^3 + 5k$ bude deliteľná šiestimi z predpokladu, ešte treba dokázať, že aj $3k^2 + 3k +6$ je deliteľná šiestimi.

Z tejto časti je evidentne deliteľné šiestimi číslo 6. Ak by sme dokázali, že šiestimi je deliteľný aj kúsok $3k^2 + 3k$ , dôkaz by bol

$\pm$ hotový. Číslo je deliteľné číslom 6, ak je deliteľné dvoma a troma súčasne. $3k^2 + 3k = 3k(k+1)$ troma deliteľné je a je aj deliteľné dvoma,

lebo z dvoch po sebe idúcich prirodzených čísel $k, (k + 1)$ je vždy jedno párne a jedno nepárne, takže ich súčin je určite párny a teda deliteľný dvoma.

wilzef · 26. 04. 2011 09:27

↑ Honzc:

Děkuji ti moc :) ale nevím, jak myslíš to, že by se to tak stejně řešilo pomocí matematické indukce? Přece musím ve druhém indukčním kroku uvažovat to, že nebudu počítat pouze s ale s . Takže . Nějak nevím jak potom teda využít té tvé rady.

wilzef · 26. 04. 2011 09:32

↑ Dana1:

Děkuji ti mockrát! Špatně jsem to rozkládala.

Honzc · 26. 04. 2011 09:59

↑ wilzef:
No jednoduše.
Do tohoto vztahu (n-1)n(n+1)+6n dosadíš
n=k+1 a dostaneš
(k+1-1)(k+1)(k+1+1)+6(k+1)=k(k+1)(k+2)+6(k+1)
A zase 1.člen výrazu jsou 3 po sobě jdoucí čísla a druhý je jistě dělitelný 6-ti.

Cheop · 26. 04. 2011 10:03 — Editoval Cheop (26. 04. 2011 10:04)

↑ wilzef:
Indukcí:
pro $n=1$
$1^3+5\cdot 1=6$ - platí
$(k+1)^3+5(k+1)\\(k+1)((k+1)^2+5)\\(k+1)(k^2+2k+6)\\(k+1)(k(k+2)+6)\\k(k+1)(k+2)+6(k+1)$

wilzef · 26. 04. 2011 10:23

Díky moc všem!

Matematické Fórum

#1 26. 04. 2011 08:16

Matematická indukce

#2 26. 04. 2011 08:33

Re: Matematická indukce

#3 26. 04. 2011 08:37

Re: Matematická indukce

#4 26. 04. 2011 08:43

Re: Matematická indukce

#5 26. 04. 2011 08:47 — Editoval wilzef (26. 04. 2011 08:48)

Re: Matematická indukce

#6 26. 04. 2011 09:16

Re: Matematická indukce

#7 26. 04. 2011 09:22 — Editoval Dana1 (26. 04. 2011 09:34)

Re: Matematická indukce

#8 26. 04. 2011 09:27

Re: Matematická indukce

#9 26. 04. 2011 09:32

Re: Matematická indukce

#10 26. 04. 2011 09:59

Re: Matematická indukce

#11 26. 04. 2011 10:03 — Editoval Cheop (26. 04. 2011 10:04)

Re: Matematická indukce

#12 26. 04. 2011 10:23

Re: Matematická indukce

Zápatí