Matematické Fórum

rimer · 23. 04. 2011 11:36 — Editoval rimer (23. 04. 2011 12:27)

Zdravim, ako zapisem $2-i$ v goniometrickom tvare?
skusim som takto
$\sqrt5$\frac{2\sqrt5}{5}-i\frac{\sqrt5}{5}$$
ale ale tam mi potom vevyjde spolocny uhol aby som to mohol zapisat v tvare $r(\cos \theta + i\sin \theta)$
dakujem

Rumburak

↑ rimer:
Idea je správně, ale je tam chyba (snad jen přepis).
Roznásobením závorky v $\sqrt5$\frac{2\sqrt5}{5}-i\frac{\sqrt5}{5}$$ přece nedostaneme $2+i$ .

rimer · 23. 04. 2011 12:06 — Editoval rimer (23. 04. 2011 12:12)

ja som to pocital tak ze $\cos \theta = \frac{a}{r}=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}$
edit: ano mam tam chybu malo to byt cislo 2-i nie 2+i

neviem ako najst ten spolocny uhol pre $\cos \theta =\frac{2\sqrt5}{5}$ $\sin \theta -\frac{\sqrt5}{5}$ tusim ze by mal byt v 4. kvadrante

Rumburak

↑ rimer:
Jak už jsem napsal, především máš špatně přechod od $2\fbox{+}i$ k $\sqrt5$\frac{2\sqrt5}{5}\fbox{-}i\frac{\sqrt5}{5}$$ ,
správný mezivýsledek měl být $\sqrt5$\frac{2\sqrt5}{5}+i\frac{\sqrt5}{5}$$ .
Nyní najdeme společné řešení goniometrických rovnic $\cos \theta = \frac{2\sqrt5}{5}$ , $\sin \theta = \frac{\sqrt5}{5}$ na intervalu $[0, 2\pi)$ .
Zdůrazňuji, že musejí být splněny OBĚ tyto rovnice (hledané číslo $\theta$ je pak na uvedeném intervalu jednoznačně určeno).

EDIT. Takže je-li v zadání $2-i$ , potom úprava na $\sqrt5$\frac{2\sqrt5}{5}-i\frac{\sqrt5}{5}$$ je správně a ty gon. rovnice budou
$\cos \theta = \frac{2\sqrt5}{5}$ , $\sin \theta = - \frac{\sqrt5}{5}$ na intervalu $[0, 2\pi)$ , což je řešitelné ve IV. kvadrantu.

rimer · 23. 04. 2011 12:26

no a to je moj problem ze neviem najst toto spolocne riesenie a v zadani ma byt 2-i, ospravedlnujem sa

Rumburak

↑ rimer:
Najdeš řešení rovnice $\sin \alpha = \frac{\sqrt5}{5}$ (tedy s kladnou pravou stranou) v I. kvadrantu , formálně $\alpha = \arcsin \frac{\sqrt5}{5}$ ,
(hodnotu tohoto úhlu ve své paměti nemám), pak položíš $\theta = 2\pi - \alpha$ .

rimer · 23. 04. 2011 13:14

ked teda vypocitam $\theta = 2\pi - \alpha$ kde $\alpha = \arcsin \frac{\sqrt5}{5}$ potom pre tento uhol plati $\cos \theta =\frac{2\sqrt5}{5}$ ?

rimer · 23. 04. 2011 18:44

ako mozem tento uhol nejako pekne vyjadrit v stupnovej miere?

Dana1 · 23. 04. 2011 20:33

↑ rimer:

Ak nenastala niekde chyba, mne to vyšlo:

Ak $\sin \alpha = \frac{\sqrt5}{5}$ tak v I. kvadrante $\alpha = 26 ° \ 33`\ 54``$

Rumburak · 26. 04. 2011 09:02

↑ rimer:
Ano, protože když je $\alpha$ v I. kvadrantu, pak $\theta = 2\pi -\alpha$ je ve IV. kvadrantu, takže $\cos \theta > 0$ a tedy

$\cos \theta = \fbox{+}\sqrt{1-\sin^2 \theta} = \sqrt{1-(-\sin \alpha)^2} = \sqrt{1-\sin^2 \alpha}= \sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac {20}{25}}= \frac{2\sqrt{5}}{5}$ .