Matematické Fórum

Katsushiro

Takže... Příklad zní takto: Máme čtverec s 5 body na každé straně. Kolik trojúhelníků můžeme vytvořit z těchto bodů jestliže:
a)nemůžeme použít 2 body ze stejn strany
b) můžeme použít 2 body ze stejné strany

Myslím si, že a) vím, stačí použít vztah 4n^3 => výsledek je 500. S částí b) si ale nevím rady, nikde to nemohu najít. Pokud někdo víte, mohli byste , prosím, vysvětlit jak to funguje i pro jiné počty bodů?

Moc děkuji, Katsu

Aquabellla

↑ Katsushiro:

B) (5 nad 2) . 15 . 4
vysvětlení: 2 body z pěti na jedné straně, 3. bod má 15 možností, dohromady 4 strany

A) (4 nad 3) . 5^3
vysvětlení: kombinace - každé číslo na jiné straně; 5^3 každý s každým

Katsushiro · 26. 04. 2011 12:38

↑ Aquabellla:
Díky, ale kombinační čísla jsme ještě nebrali, chce se po nás, aŤ to odvodíme jen s využitím základních kombinatorických pravidel, mohla bys to prosím rozepsat do normálních čísel?;-)

Aquabellla · 26. 04. 2011 12:54

↑ Katsushiro:

tak to je zvláštní dělat kombinatorické úlohy bez kombinačních čísel... :-)

(5 nad 2) $= \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$

(4 nad 3) $= \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4$

konečná čísla udávají počet možností, jak můžeš danou věc nakombinovat

Phate · 26. 04. 2011 13:02

↑ Aquabellla:
myslim, ze za A by meli byt jeste pricteny moznosti z B, nikde neni receno, ze dva body musi lezet na jedne strane

Katsushiro · 26. 04. 2011 13:04

↑ Aquabellla:
Moc díky, už se v tom orientuju líp:-D. Mohla bys mi, prosím napsat ještě výpočet pro 3 body na straně čtverce? Počítám, počítám a nevychází mi to:-D

↑ Phate:
Myslíš dobře, fakt se to sčítá:-D

Phate · 26. 04. 2011 13:11 — Editoval Phate (26. 04. 2011 13:12)

↑ Katsushiro:
3 body na strane ctverce vyjdou stejne jak moznost A, protoze neexistuje trojuhelnik, ktery by mel sve vrcholy kolinearni(lezici na jedne primce). To pak neni trojuhelnik ale usecka

Aquabellla · 26. 04. 2011 13:50

↑ Phate:

ajo, pravda, díky :-)

Katsushiro

To s 3mi body mi pořád není jasné:-D Pokud beru, že čtverec má 3 body na každé straně a já mám zjistit kolik trojúhelníků můžu udělat s vrcholy v těchto bodech pokud 2 můžou být na jedné straně, vychází mi pomocí těch komb. čísel 216, přitom má vyjít 144. Nevíte proč?:-D
ze školy mám napsaný tento postup: 108 (počet trojúhelníků jejichž vrcholy nejsou na jedné straně) + (12*2*9)/6 - tento zp. úvahy mi ale už nefunguje u jiných počtů bodů na čtverci:-D

P.s.: Můj postup pro trojúhelník se 3 body na straně byl tento: ((3 nad 2) * 9 * 4) + 108

Rumburak

↑ Katsushiro:
Předpokládejme, že žádný z těch daných 20-ti bodů na hranici čverce není vrcholem čtverce.
Trojúhelník A,B,C je určen svými vrcholy. Mějme trojúhelník T z naší úlohy.
Tu stranu daného čtverce, na níž leží právě dva z vrcholů trojúh. T, nazvěme dominantou trojúhelníka T.
Tu stranu daného čtverce, na níž neleží žádný z vrcholů trojúh. T, nazvěme antidominantou trojúhelníka T.
Každý trojúhelník naší úlohy tedy má nejvýše jednu dominantu a alespoň jednu antidominantu.

Ad VARIANTA a) : Počítají se pouze trojúhelníky, jejichž vrholy leží na třech různých stranách čtverce. Jde o trojúhelníky,
které nemají dominantu a mají právě jednu antidominantu.

1) Zvolme stranu čtverce a uvažujme všechny trojúhelníky z varianty a), pro které je tato strana antidominantou.
Jejich počet bude zřejmě $5^3$ .

2) Stranu štverce v předchozím kroku můžeme zvolit čtyřmi způsoby, při každé nové volbě dostaneme nové trojúhelníky.
Celkem tedy dostáváme $4\cdot 5^3$ trojúhelnííků .

Ad VARIANTA b) : Započítáváme i případy, kdy dva z vrcholů trojúhelníka leží na téže srtaně čtverce, což jsou trojúhelníky
mající dominantu. K výsledku varianty a) tedy musíme přičíst počet trojúhelníků, které mají dominantu.

1) Zvolme pevně stranu čtverce a spočítejme trojúhelníky, pro něž je tato strana dominantou.
Dvojici různých bodů na této straně můžeme zvolit $5 \choose 2$ způsoby, ke každému z nich můžeme 15-ti způsoby zvolit
třetí bod na některé ze zbývajících stran, takže zvolená strana je dominantou pro $15 \cdot { 5 \choose 2}$ trojúhelníků.

2) Stranu pro roli dominanty trojúhelníků můžeme volit čtyřmi způsoby, což dává dle předchozího kroku celkem
$4\cdot 15 \cdot { 5 \choose 2}$ trojúhelníků.

3) Spolu s počtem možností řešících variantu a) tedy máme $4\cdot 5^3 \,\,+\,\,4\cdot 15 \cdot { 5 \choose 2}$ trojúhelníků.

Katsushiro · 26. 04. 2011 15:38

↑ Rumburak:
Díky, mohl bys, prosím, rozepsat výpočet i pro 3 body na straně čtverce?

Rumburak

↑ Katsushiro:
Číslo 15 ( = 3*5 = počet bodů, které jsou po pěti rozmístěny na třech stranách čtverce) se nahradí číslem 9 (=3*3),
číslo 5 se nahradí číslem 3 .
Místo $4\cdot 5^3$ bude $4\cdot 3^3$ , místo $4\cdot 15 \cdot { 5 \choose 2}$ bude $4\cdot 9 \cdot { 3 \choose 2}$ .
Ale na to bys jistě přišel sám, kdyby ses nad tím zamyslel.

EDIT 1. Pochopil jsem dotaz ve smyslu "jak se výsledek změní, jestliže na každé straně čtverce bude dáno po třech bodech místo po 5-ti bodech".
Avšak takový trojúhelník, jehož všechny tři vrcholy by ležely na jedné přímce, samozřejmě neexistuje.

EDIT 2. Opravena chyba.

Katsushiro · 26. 04. 2011 16:10

↑ Rumburak:
A proč počítáme stále s (5 nad 2) a ne (3 nad 2)? Vybírám přece 2 body z 3 prvkové množiny nebo ne?

Rumburak

↑ Katsushiro:
Díky, správný postřeh, děláš pokroky :-) . Přepsat tu pětku na trojku jsem opravdu zapomněl, i když jsem o tom psal. Omlouvám se.

Katsushiro · 26. 04. 2011 16:24

↑ Rumburak:
:-D aha, takže celý správný výsledek je 4*4^3 + (3 nad 2)*9*4 = 216? Měl jsem zapsané, že 144, tak to bylo asi špatně:-D

Rumburak

↑ Katsushiro:
Také mi vychází 4*3^3 + (3 nad 2)*9*4 = 216.
Když by některý z daných 20- ti resp. 12-ti bodů na hranici čtverce byl zároveň vrcholem toho
čtverce, pak by počet trojúhelníků byl menší.

Katsushiro · 26. 04. 2011 17:19

↑ Rumburak:
Moc díky;-)

Matematické Fórum

#1 26. 04. 2011 12:25 — Editoval Katsushiro (26. 04. 2011 12:28)

Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

#2 26. 04. 2011 12:36 — Editoval Aquabellla (26. 04. 2011 12:36)

Re: Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

#3 26. 04. 2011 12:38

Re: Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

#4 26. 04. 2011 12:54

Re: Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

#5 26. 04. 2011 13:02

Re: Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

#6 26. 04. 2011 13:04

Re: Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

#7 26. 04. 2011 13:11 — Editoval Phate (26. 04. 2011 13:12)

Re: Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

#8 26. 04. 2011 13:50

Re: Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

#9 26. 04. 2011 14:59 — Editoval Katsushiro (26. 04. 2011 15:32)

Re: Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

#10 26. 04. 2011 15:35 — Editoval Rumburak (26. 04. 2011 15:39)

Re: Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

#11 26. 04. 2011 15:38

Re: Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

#12 26. 04. 2011 15:48 — Editoval Rumburak (26. 04. 2011 16:16)

Re: Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

#13 26. 04. 2011 16:10

Re: Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

#14 26. 04. 2011 16:19 — Editoval Rumburak (26. 04. 2011 16:23)

Re: Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

#15 26. 04. 2011 16:24

Re: Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

#16 26. 04. 2011 16:40 Příspěvek uživatele Rumburak byl skryt uživatelem Rumburak.

#17 26. 04. 2011 16:51 — Editoval Rumburak (27. 04. 2011 09:23)

Re: Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

#18 26. 04. 2011 17:19

Re: Kombinatorika - počet trojúhelníků s vrcholy po obvodu čtverce

Zápatí