Matematické Fórum

lidunka.b · 27. 04. 2011 09:28

ahoj, prosím o pomoc při výpočtu příkladu:

2sin x/4 cos x/4 + 6sin x/4=0

Děkuji :-)

musixx · 27. 04. 2011 09:31 — Editoval musixx (27. 04. 2011 09:31)

Vytkni $\sin\frac x4$ a uvaž, že součin je nula jen když alespoň jeden z činitelů je nula. Napiš pak prosím, kam ses dostala, a podle toho zde budeme pokračovat.

lidunka.b · 27. 04. 2011 09:52

↑ musixx:
tak jsem se dostala sem:

sinx = 0 2kpí

cosx = -3 NŘ

mám to dobře?

Phate · 27. 04. 2011 09:55 — Editoval Phate (27. 04. 2011 09:57)

↑ lidunka.b:
druha cast je dobre, ale v te prvni neni $\sin x$ , ale $\sin \frac{x}{4}$ a perioda pro $\sin y=0$ je $\pi$ a ne $2\pi$ . Zvladnes to dal?

lidunka.b · 27. 04. 2011 10:36

↑ Phate:

takže výsledek bude:

sinx= pí + 2kpí

je to správně?

Cheop · 27. 04. 2011 10:43 — Editoval Cheop (27. 04. 2011 10:58)

↑ lidunka.b:
Ne to není správně.
$2\sin\left(\frac x4\right)\cos\left(\frac x4\right)+6\sin\left(\frac x4\right)=0$
Substituce: $\frac x4=t$
$2\sin\,t\cos\,t+6\sin\,t=0\\2\sin\,t(\cos\,t+3)=0$
a)
$2\sin\,t=0\\\sin\,t=0\\t=k\pi$
$\frac x4=k\pi\\x=4k\pi$ pro $k=(0,\,1,\,2\,...\infty)$
b)
$\cos\,t+3=0\\\cos\,t=-3\,\rm{ne}$
Řešení:
$x=4k\pi$

lidunka.b · 27. 04. 2011 10:50

↑ Cheop:tak jak to je?

Cheop · 27. 04. 2011 10:56

↑ lidunka.b:
Dopsal jsem to do předcházejícího příspěvku

lidunka.b · 27. 04. 2011 11:02

↑ Cheop: ok díky moc

ještě dotaz. proč je tam perioda jen pí? já někde četla, že sin a cos mají 2kpí periodu

Cheop · 27. 04. 2011 11:06 — Editoval Cheop (27. 04. 2011 11:07)

↑ lidunka.b:
To je sice pravda, ale pokud je $\sin\,x=0$ potom je perioda $k\pi$ protože $\sin(0)=0$ a $\sin(\pi)=0$ je taktéž

lidunka.b · 27. 04. 2011 11:13

↑ Cheop:ok díky :-) teď už mám jasno

Rumburak

↑ lidunka.b:
Rovnice $\sin t = 0$ má na "základním" intervalu $[0,\,2\pi)$ DVĚ řešení, a sice $t_1 = 0, \, t_2 = \pi$ .
Všechna řešení této rovnice v $\mathbb{R}$ získáme pomocí periodicity funkce sinus: budou to

(1) body $t_1 + 2k\pi , \,\,k\in \mathbb{Z}$ , tj. $0 + 2k\pi , \,\,k\in \mathbb{Z}$ ,

(2) body $t_2 + 2k\pi , \,\,k\in \mathbb{Z}$ , tj. $\pi + 2k\pi , \,\,k\in \mathbb{Z}$ .

Oba tyto zápisy je možno shrnout do jednoho : $n\pi , \,\,n\in \mathbb{Z}$ ,
ta "perioda $\pi$ " pro kořeny rovnice $\sin t = c$ platí pouze v tomto speciálním případě c = 0 .

EDIT. Než jsem to stihl dopsat, kolega to mezitím vysvětlil rychleji a dostatečně, ale snad neuškodí,
budou-li zde vysvětlení dvě, každé trochu jinými slovy.