Matematické Fórum

byk7 · 22. 04. 2011 12:51

Nechť $a,b,c\in\mathbb{R}^+$ splňují $abc=1$ , dokažte potom, že tato čísla splňují nerovnost
$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\ge\frac32\cdot$

Pavel · 22. 04. 2011 14:01

↑ byk7:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

byk7 · 22. 04. 2011 14:11

↑ Pavel: já znám řešení

BakyX · 22. 04. 2011 14:31 — Editoval BakyX (22. 04. 2011 14:33)

↑ byk7:

A vyriešil si to ? Mám otázku..Využíva sa tam

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

byk7 · 22. 04. 2011 15:42

↑ BakyX:
vyřešil

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

byk7 · 27. 04. 2011 15:24

↑ BakyX: nemusíš mít strach, je to lehké, stačí použít...

... Zobrazit/skrýt!

byk7 · 01. 05. 2011 11:15

Tak tedy moje řešení:
Nerovnost upravíme na
$\frac{$bc$^2}{a(b+c)}+\frac{$ca$^2}{b(c+a)}+\frac{$ab$^2}{c(a+b)}\ge\frac32$
nyní z upravené Cauchyho nerovnosti (viz předchozí příspěvek) stačí dokázat, že
$\frac{$\sqrt{(bc)^2}+\sqrt{(ca)^2}+\sqrt{(ab)^2}$^2}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac32$
to je ale lehké, neboť (podle AG)
$ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{(ab)(bc)(ca)}=3(abc)^{\frac23}=3.$