Matematické Fórum

Chanzy · 27. 04. 2011 16:08

Zdravím, mohl by mi tu někdo prosím pomoci s touto úlohou?

Odvoďte vzorec pro obsah kruhu o poloměru r

byk7 · 27. 04. 2011 16:11

$2\int\limits_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\mathrm{d}x$
snad je to správně

nebo by taky šlo
$4\int\limits_{-r}^0\sqrt{r^2-x^2}\mathrm{d}x$
anebo
$4\int\limits_0^r\sqrt{r^2-x^2}\mathrm{d}x$

Dana1 · 27. 04. 2011 16:12 — Editoval Dana1 (27. 04. 2011 16:17)

↑ Chanzy:

Nič si neskúsil?

Asi iný postup ako uvádza kolega:

Google - Odkaz, úloha 6...

Ešte sa mi zdá, že v e-učebnici od Krynického som videla odvodenie...

Chanzy · 27. 04. 2011 16:23

Děkuji, já bych potřeboval spíše postup než výsledky, jen poradit jak na to

Rumburak

↑ Chanzy:

Je více možností, nejjednodušší je to přes dvojný integrál, ale to nepatří do látky střední školy, kam byla úloha zařazena.
Použijeme tedy jednorozměrný integrál.

Nápověda pro sestavení integrálu:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Nápověda pro jeho výpočet:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Chanzy · 27. 04. 2011 16:42

a jak se přišlo na tu substituci, že za x dám rsint?

Rumburak · 27. 04. 2011 16:53

↑ Chanzy:

Obecně platí, že na matematický postup řešení úlohy se příjde určitou kreativní intuicí, kterou lze při znalostech teorie vypěstovat
zkušeností s řešením matematických úloh. Jako snad ve všech činnostech i zde se uplatňuje talent.

Spočítej si doporučenou substitucí ten integrál a to bude právě ta zkušenost, která Ti s integrály podobného typu pomůže do budoucna.

Chanzy · 27. 04. 2011 16:57

já vím, že se na to příjde zkušeností, ale učitel se mě bude ptát, jak jsem přišel na sin t...

Rumburak · 27. 04. 2011 17:07

↑ Chanzy:

Je potřeba mít před očima vzorce $\sqrt{1-\sin^2t} = |\cos t |$ , $(\sin t)' = \cos t$ .

Jenda358 · 27. 04. 2011 17:08

Jde o to, že když použiješ substituci r*sin(t), tak potom budeš moct pod odmocninou vytknout r^2, použít jeden goniometrický vzorec a nakonec odmocnit.

Chanzy · 27. 04. 2011 17:12

tak nevím, jestli to mám dobře, ale zatím integruju: r*cost*(sint+r*cost)*dt

Rumburak

↑ Chanzy:
No toto tedy není dobře.
Snad je aspoň zřejmé, že uvažujeme-li kruh ohraničený kružnicí o rovnici $x^2 + y^2 = r^2$ , pak obsah čtvrtkruhu
odpovídajícího prvnímu kvadrantu souřadnicové soustavy je dán integrálem

$I:=\int\limits_0^r\sqrt{r^2-x^2}\,\mathrm{d}x$

(viz geometrický význam určitého integrálu). Substituce $x = r \sin t , \,\, t\in\left(0,\,\frac{\pi}{2} \right)$ (zderivováním této rovnice dle t
získáme dx = r cos t dt ) dává podle věty o substituci

$I=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^2-r^2\sin^2 t}\cdot r\cdot \cos t \,\mathrm{d}t = r^2 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\sin^2 t}\,\cos t \,\mathrm{d}t = r^2 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 t \,\mathrm{d}t$
(využili jsme, že pro $t\in\left(0,\,\frac{\pi}{2} \right)$ je $\sqrt{1-\sin^2 t}=\cos t$ ) .

K vyčíslení posledního integrálu vyjádříme $\cos^2 t = \frac {1 + \cos 2t}{2}$ a zavedeme další substituci t = u/2 .
Tím bude úloha převedena na vyčíslení základních "tabulkových" integrálů. Dostaneneme tak

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Chanzy · 28. 04. 2011 13:26 — Editoval Chanzy (28. 04. 2011 13:27)

ta integrace mi vyšla

$(\pi*r^2)/4$

tím jsem vlastně vypočítal 1/4 kružnice, takže musím vynásobit 4, je to tak?

Rumburak

↑ Chanzy:
Výsledek $(\pi*r^2)/4$ je správně, pokud * značí operaci součinu reálných čísel. Jde o obsah ČTVRTINY KRUHU , neboli obsah kruhové výseče,
která přísluší čtvrtině kružnice (resp. čtvrtkružnici) - i tak bychom to mohli říci. U zkoušky může být důlžité nenechat se nachytat na nějaké hrubé
pojmové chybě či nepřesnosti, za kterou by mohlo být považováno i prohlášení "vypočítal jsem 1/4 kružnice", ale to jen na okraj.

Samozřejmě, obsah celého kruhu dostaneme tak, že obsah čtvrtiny kruhu vynásobíme čtyřmi :-) .

Matematické Fórum

#1 27. 04. 2011 16:08

Odvození vzorce přes přímou integraci

#2 27. 04. 2011 16:11

Re: Odvození vzorce přes přímou integraci

#3 27. 04. 2011 16:12 — Editoval Dana1 (27. 04. 2011 16:17)

Re: Odvození vzorce přes přímou integraci

#4 27. 04. 2011 16:23

Re: Odvození vzorce přes přímou integraci

#5 27. 04. 2011 16:38 — Editoval Rumburak (27. 04. 2011 16:42)

Re: Odvození vzorce přes přímou integraci

#6 27. 04. 2011 16:42

Re: Odvození vzorce přes přímou integraci

#7 27. 04. 2011 16:53

Re: Odvození vzorce přes přímou integraci

#8 27. 04. 2011 16:57

Re: Odvození vzorce přes přímou integraci

#9 27. 04. 2011 17:07

Re: Odvození vzorce přes přímou integraci

#10 27. 04. 2011 17:08

Re: Odvození vzorce přes přímou integraci

#11 27. 04. 2011 17:12

Re: Odvození vzorce přes přímou integraci

#12 28. 04. 2011 09:48 — Editoval Rumburak (28. 04. 2011 10:03)

Re: Odvození vzorce přes přímou integraci

#13 28. 04. 2011 13:26 — Editoval Chanzy (28. 04. 2011 13:27)

Re: Odvození vzorce přes přímou integraci

#14 28. 04. 2011 13:52 — Editoval Rumburak (28. 04. 2011 13:55)

Re: Odvození vzorce přes přímou integraci

Zápatí