Matematické Fórum

Teyras · 27. 04. 2011 20:09 — Editoval Teyras (27. 04. 2011 20:09)

Zdravím,
mám zadání $ax + 2ax^2 + 3ax^3 ...$
kde x a a jsou reálná čísla. Zadání bych měl sečíst, zatím jsem dospěl k tomu, že n-tý člen je a*n*x^n, první člen je tím pádem ax a každý další člen je x*(n+1)/n krát větší a tento "kvocient" konverguje k x, pro které platí, že |x| < 1. S dalším postupem bych potřeboval poradit.
Díky

Stýv · 27. 04. 2011 20:23

takováhle řada se sečte tak, že se vytkne x, zbytek se zintegruje člen po členu, čímž dostaneš geometrickou řadu, tu sečteš a zpátky zderivuješ a vrátíš x

Teyras · 27. 04. 2011 20:31

↑ Stýv:
Nemělo by se vytknout spíš a? a jak se integruje člen po členu? Jsem v třeťáku a integrovat umim jen jednoduchý věci :)

Stýv · 27. 04. 2011 20:38

↑ Teyras: a si samozřejmě vytnout můžeš, ale x opravdu vytknout musíš. integruje se prostě každý člen (nekonečnýho) součtu zvlášť. ty členy jsou jednoduchý polynomy, takže bys to měl zvládnout. dá se totiž dokázat, že za jistých okolností je tohle integrávání člen po členu ekvivalentní zintegrování celý řady. btw kdes na střední škole příšel k takovýhle řadě?

Teyras · 27. 04. 2011 20:46

↑ Stýv:
Příklad z matematickýho semináře :) Co přesně znamená integrace člen po členu? Zintegrovat jednotlivé členy?

zdenek1 · 27. 04. 2011 20:58

↑ Teyras:
představ si to takto
$ax+ax^2+ax^3+ax^4+ax^5\dots=ax\frac1{1-x}$
$ax^2+ax^3+ax^4+ax^5\dots=ax^2\frac1{1-x}$
$ax^3+ax^4+ax^5\dots=ax^3\frac1{1-x}$

Vidíš, že součty tvoří zase nekonečnou GP s kvocientem $x$

$S_\infty=\frac{ax}{1-x}(1+x+x^2+\dots)$

a nějaké podmínky pro $x$

Teyras · 27. 04. 2011 21:05 — Editoval Teyras (27. 04. 2011 21:31)

↑ zdenek1:
No, nejsem si úplně jistej, že rozumim... Jak se přijde na tu pravou stranu?
EDIT: aha, takže vzorec pro součet nekonečné geom. řady? jsem slepej :) jenže co s těma koeficientama?

zdenek1 · 27. 04. 2011 21:50

↑ Teyras:
S jakejma koeficientama?
Každý řádek je součet nekonečné GP a výsledky také tvorří nekonečnou GP.

Když sečtu všechny levové strany, dostanu původní řadu, takže když sečtu pravé strany, dostanu výsledek.

Teyras · 27. 04. 2011 21:52

↑ zdenek1:
no jde mi to ax, 2ax^2, 3ax^3... prostě n*a*x^n, a to přece jen tak nezmizí, nebo se pletu?

zdenek1 · 27. 04. 2011 21:59

↑ Teyras:
Jasně, ale když sečteš levé strany řádků, tak právě dostaneš ta čísla 2, 3, ...

Teyras · 27. 04. 2011 22:06

↑ zdenek1:
Jo takhle... Tak moc děkuju :)

Matematické Fórum

#1 27. 04. 2011 20:09 — Editoval Teyras (27. 04. 2011 20:09)

Součet nekonečné (a negeometrické) řady

#2 27. 04. 2011 20:15 Příspěvek uživatele Hanis byl skryt uživatelem Hanis. Důvod: Zase tak užitečné informace tam nejsou...

#3 27. 04. 2011 20:23

Re: Součet nekonečné (a negeometrické) řady

#4 27. 04. 2011 20:31

Re: Součet nekonečné (a negeometrické) řady

#5 27. 04. 2011 20:38

Re: Součet nekonečné (a negeometrické) řady

#6 27. 04. 2011 20:46

Re: Součet nekonečné (a negeometrické) řady

#7 27. 04. 2011 20:58

Re: Součet nekonečné (a negeometrické) řady

#8 27. 04. 2011 21:05 — Editoval Teyras (27. 04. 2011 21:31)

Re: Součet nekonečné (a negeometrické) řady

#9 27. 04. 2011 21:50

Re: Součet nekonečné (a negeometrické) řady

#10 27. 04. 2011 21:52

Re: Součet nekonečné (a negeometrické) řady

#11 27. 04. 2011 21:59

Re: Součet nekonečné (a negeometrické) řady

#12 27. 04. 2011 22:06

Re: Součet nekonečné (a negeometrické) řady

Zápatí