Matematické Fórum

drabi · 28. 04. 2011 12:54

prosím o pomoc s tímto příkladem:

díky za pomoc

Stýv · 28. 04. 2011 14:35

použij Borelovo-Cantelliho lemma

drabi · 28. 04. 2011 14:44

možná jsem s tím už pohla, mohl by mi prosím někdo říct, zda jsem se vydala správnou cestou?

$[Y_n > 2n] \Leftrightarrow [X_n + n > 2n] \Leftrightarrow [X_n > n]$
a jelikož $X_n$ jsou jevy nezávislé, potom i $Y_n$ jsou nezávislé a tedy použiju Borelovu větu.
$A_n = [X_n > n]$
$\sum_{n=1}^\infty P(A_n) = \sum_{n=1}^\infty \int_n^\infty e^{-x} dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{e^n} < \infty$
tedy dle Borelovy věty $P(limsup_{n \rightarrow \infty} A_n) = 0$

$[Y_1 > \log(n)] \Leftrightarrow [X_1 + 1 > \log(n)] \Leftrightarrow [X_1 > \log(\frac{n}{e})]$
$\sum_{n=1}^\infty P(A_n) = \sum_{n=1}^\infty \int_{\log(\frac{n}{e})}^\infty e^{-x} dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{e}{n} = \infty$
tedy dle Borelovy věty $P(limsup_{n \rightarrow \infty} A_n) = 1$

a co se týká rozptylu, tak ten je invariantní vůči posunutí, takže platí $var X_n = var Y_n$
pak tedy:
$EX_n = \int_0^\infty x e^{-x} dx = 1$
$EX_n^2 = \int_0^\infty x^2 e^{-x} dx = 2$
$var Y_n = var X_n = EX_n^2 - (EX_n)^2 = 2 - 1 = 1$

Stýv · 28. 04. 2011 14:51

ad b) jsou jevy $[Y_1>\log(n)]$ nezávislý? (ono to zadání mi přijde podezřelý, čekal bych $Y_n$ místo $Y_1$ )

drabi · 28. 04. 2011 15:00

↑ Stýv:
No mě to nějak zarazilo, tak si nejsem moc jistá, jak to udělat.
Máš pravdu - nejsou nezávislé.
Nejspíš bych z toho měla dostat, že ta pravděpodobnost je rovna $lim_{n \rightarrow \infty} \frac{e}{n} = 0$ , ale opravdu netuším jak a proč

Stýv · 28. 04. 2011 15:43

↑ drabi: tohle už je lepší

ps: je dobrý přidat zpětný lomítko: $\lim_{n\to\infty}$

drabi · 28. 04. 2011 15:48

↑ Stýv:
ok:) jen prosím nevíš, jak k tomu dojít?

Stýv · 28. 04. 2011 15:52

↑ drabi: mně to přišlo tak nějak samozřejmý...

drabi · 28. 04. 2011 15:59

↑ Stýv:
ok:) tak díky moc za pomoc a trpělivost

Matematické Fórum

#1 28. 04. 2011 12:54

náhodné veličiny

#2 28. 04. 2011 14:35

Re: náhodné veličiny

#3 28. 04. 2011 14:44

Re: náhodné veličiny

#4 28. 04. 2011 14:51

Re: náhodné veličiny

#5 28. 04. 2011 15:00

Re: náhodné veličiny

#6 28. 04. 2011 15:43

Re: náhodné veličiny

#7 28. 04. 2011 15:48

Re: náhodné veličiny

#8 28. 04. 2011 15:52

Re: náhodné veličiny

#9 28. 04. 2011 15:59

Re: náhodné veličiny

Zápatí