Matematické Fórum

Měsíček · 23. 03. 2011 18:23

Pěkný večer,
mohli byste mi, prosím, vysvětlit jednu mou nesrovnalost?

Mějme třeba následující rovnici:

$cos3x=0,5$ dosadím si substituci $t=3x$ a počítám s rovnicí $cost=0,5$ ,pak z jednotkové kružnice zjistím, že hodnota $t1$ je $\frac{\pi}{3} + 2k\pi*$ a hodnota $t2$ je $\frac{5\pi}{3} + 2k\pi$ ... pak jen dál dosadím do rovnice a mám výsledek, nechápu jen, jak se mám regulérně dostat k té hvězdiče tedy k tomu $2k\pi$ , vím, že je to tady jakási perioda, ale nevím podle čeho se to určuje. Nejlépe, jak to poznat na té jednotkové kružnici...?

Děkuji již dopředu za vaši pomoc!

Dana1 · 23. 03. 2011 18:30 — Editoval Dana1 (23. 03. 2011 18:33)

↑ Měsíček:

$2k\pi = k\cdot 360°$ , keď prejdeš okolo celej kružnice. nasledujú uhly väčšie ako 360° a hodnoty goniometrických funkcií sa v nich opakujú.

Napríklad v uhle 390° si presne na tom istom mieste na jednotkovej kružnici, ako keď si v uhle 30°. Uhol (x) je väčší o 360°, ale hodnota funkcie (y) je rovnaká. y(x) = y(x+360°)

Ak by sa pridalo ďalších 360°(ešte raz okolo celej kružnice), situácia by sa zopakovala. Zase x by bolo o 360°väčšie, ale na jednotkovej kružnici by si sa znova ocitol na rovnakom mieste ako pri uhle x.

Perióda je veľkosť uhla, ktorý keď pridáš k pôvodnému nespôsobí zmenu hodnoty funkcie (y).

Cheop · 23. 03. 2011 18:33 — Editoval Cheop (23. 03. 2011 18:35)

↑ Měsíček:
Funkce cos je periodická a perioda je právě 2kpí pro k=1,2,3....
Tvoje perioda však nebude 2kpí ale:
$t_1=\frac{\pi}{3}+2k\pi\\3x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\\x=\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$
Takže v tomto případě bude perioda $\frac{2k\pi}{3}$ - po ní se budou funkční hodnoty opakovat.

Phate · 23. 03. 2011 18:34

Grafy funkci sinus a kosinus jsou periodicke s periodou $2\pi$ , coz v praxi znamena, ze pro $f(x)=sin x$ plati, ze $f(x)=f(x+2\pi)$ . Takze pokud ti vyjde nejake reseni goniometricke rovnice, musis si uvedomit, ze goniometricke funkce jsou periodicke a tedy vysledkem neni jedno cislo, ale hodnota+cely nasobek periody. Ale pozor, perioda je sice zakladne $2\pi$ , ale napr. v tve rovnici, kde ti vyslo $\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ a $\frac{5\pi}{3} + 2k\pi$ tak po prevodu z $t$ na $x$ nesmis zapomenou vydelit(vynasobit) i clen $2k\pi$

Měsíček · 23. 03. 2011 18:48

Teoreticky možná chápu definici periody, ale nevím, jak v rychlosti poznat, jaká to perioda je - např. u rovnice $cos2x=0$ už není $2k\pi$ , ale $k\pi$ , proč přesně?

Dana1 · 23. 03. 2011 18:53 — Editoval Dana1 (23. 03. 2011 20:06)

↑ Měsíček:

Napríklad preto, lebo kosínus si môžeš na jednotkovej kružnici predstaviť ako súradnicu x bodu, ktorý patrí uhlu. A súradnica x je nula pre uhol 90°, ale aj 270°, perióda pre nulu je teda 180° (0 sa zopakuje už po 180°).

Rozvinutý graf (x...uhly, y...hodnoty goniometrických funkcií) je ale lepší na pochopenie periódy ako jednotková kružnica (myslím).

Měsíček · 28. 04. 2011 20:33

Cheop & Phate & Dana1

Všem vám velice děkuji za trpělivost a pomoc!

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2011 18:23

Goniometrická rovnice 2

#2 23. 03. 2011 18:30 — Editoval Dana1 (23. 03. 2011 18:33)

Re: Goniometrická rovnice 2

#3 23. 03. 2011 18:33 — Editoval Cheop (23. 03. 2011 18:35)

Re: Goniometrická rovnice 2

#4 23. 03. 2011 18:34

Re: Goniometrická rovnice 2

#5 23. 03. 2011 18:48

Re: Goniometrická rovnice 2

#6 23. 03. 2011 18:53 — Editoval Dana1 (23. 03. 2011 20:06)

Re: Goniometrická rovnice 2

#7 28. 04. 2011 20:33

Re: Goniometrická rovnice 2

Zápatí