Matematické Fórum

etchie · 28. 04. 2011 22:21

prosim o pomoc s nasledovnou rovnicou

$cos^4x-sin^4x=sin2x$

rovnicu riesim standardnymi upravami, plus pouzijem jednu neekvivaletnu upravu - umocnovanie - az sa dopracujem k bikvadratickej rovnici

$8cos^4x-8cos^2x+1=0$ alebo to iste pri upravach z opacnej strany $8sin^4x-8sin^2x+1=0$

urobim substituciu na kvadraticku rovnicu pomocou $t=cos^2x$ respektive $t=sin^2x$

vypocitam kvadraticku rovnicu s vysledkom $t_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt2}{4}$

teraz to vlozim naspat do substituovaneho vyrazu, takze dostavam $cosx=\sqrt{\frac{2\pm\sqrt2}{4}}$ ktory este mozem upravit na $cosx=\frac{\sqrt{2\pm\sqrt2}}{2}$
tento vyraz vsak uz nedokazem dalej upravit a neviem z neho bez pouzitia kalkulacky dostat x
takze prosba c.1: ako sa bez kalkulacky dopracovat k hodnotam x z vyrazu o riadok vyssie ?
ked to natukam do kalkulacky (2 samostatne vyrazy miesto jedneho plus-minus znamienka) tak dostavam odpoved ze je to $\frac{1}{8}\pi$ a $\frac{3}{8}\pi$
ja vsak viem ze moja kalkulacka sice vie vypocitat hodnoty goniometrickych funkcii lepsie nez ja, ale pri odmocnovani zabuda na zaporne cisla, preto jej vysledok este upravim na $\pm\frac{1}{8}\pi$ a $\pm\frac{3}{8}\pi$
urobim skusky spravnosti - kedze som pouzil neekvivalentnu upravu - a ostanu mi korene $+\frac{1}{8}\pi$ a $-\frac{3}{8}\pi$ co je ale iba ciastocne riesenie rovnice, pretoze pri konfrontacii mojho riesenia so spravnym riesenim, ktore je uvedene pri zadani prikladu, mam dostat $x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$

aby bolo moje riesenie kompletne potrebujem sa este dopracovat ku korenom $+\frac{5}{8}\pi$ a $-\frac{7}{8}\pi$

prosba c.2: stratili sa mi niekde 2 korene ? alebo ak nestratili, tak z coho mam urcit ze periodicita riesenia je prave (k*PI)/2 ?
ak by som totiz tie korene mal vsetky, tak nie problem urcit tu cast (k*PI)/2, bez nich to ale neviem urcit
naviac ked si urobim skusky spravnosti so vsetkymi 4 korenmi tak vidim ze spravne riesenie je naozaj spravne a moje je teda iba ciastocne

vopred dakujem za pomoc

BakyX · 28. 04. 2011 22:29 — Editoval BakyX (28. 04. 2011 23:13)

Ahoj...

Rovnica by sa dala riešiť takto:

$cos^4 x - sin^4 x=\sin 2x\\ (\cos^2 x+\sin^2 x).(cos^2 x - sin^2 x)=\sin 2x\\ cos^2 x - sin^2 x = \sin 2x\\ \cos 2x = \sin 2x\\ \tan 2x = 1$

Žiadna nepekná bikvadratická rovnica..

EDIT:

Stačí vyriešiť $\cos 2x = \sin 2x$ , čo je ľahké. Netreba tam montovať tangens, lebo môžu zmiznúť korene. Thx Jelena.

Olin · 28. 04. 2011 22:47

↑ etchie:
K tomu $\cos x=\sqrt{\frac{2\pm\sqrt2}{4}}$ - předně tím, že jsme substituovali za $\cos^2 x$ , dostáváme $\cos x= {\color{red}\pm} \sqrt{\frac{2\pm\sqrt2}{4}}$ (to je možná odpověď na tvou otázku č. 2). K 1. je dobré si asi upravit $\sqrt{\frac{2\pm\sqrt2}{4}} = \sqrt{\frac{1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ a srovnat s vzorcem $\left|\cos \frac x2\right| = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}$ .

etchie · 28. 04. 2011 23:18

↑ BakyX:

ake priamociare oproti mojmu pokusu...

z tan2x = 1 dostanem x = PI/8 a perioda opakovania tan2x je vlastne PI/2 co je aj spravnym riesenim
...cize ja som zvolil nevhodny postup

dakujem za objasnenie

este doplnujuca otazka k deleniu cos2x - nemusim sa bat ze cos2x moze byt 0 ? lebo ked riesim akekolvek rovnice, tak sa uplne vyhybam deleniu vyrazmi s neznamou, a to prave z obavy, ze by mohlo ist o delenie nulou a nasledne by mohlo dochadzat aj k nezmyselnym vysledkom

Matematické Fórum

#1 28. 04. 2011 22:21

Riesenie goniometrickej rovnice - stratene korene ?

#2 28. 04. 2011 22:29 — Editoval BakyX (28. 04. 2011 23:13)

Re: Riesenie goniometrickej rovnice - stratene korene ?

#3 28. 04. 2011 22:47

Re: Riesenie goniometrickej rovnice - stratene korene ?

#4 28. 04. 2011 23:18

Re: Riesenie goniometrickej rovnice - stratene korene ?

Zápatí