Matematické Fórum

Skrytý text:
Například 4*5=20, ale 14*15=210$.

Skrytý text:
A můžeme jít ještě dál. Všechna lichá prvočísla modulo 5 se budou chovat buď jako dvojky, nebo jako trojky, nebo jako jedničky (to řešit nemusíme), nebo jako mínus jedničky, což bude jen ovlivňovat znaménko. A dokonce trojka "se chová" jako mínus dvojka. :-)

Skrytý text:

po odstranění všech pětek, stejného počtu dvojek a jedné dvojky navíc zbude
2    29x
3    19x
7    6x
11  3x
13  3x
17  2x
19  2x
23  1x
29  1x
31  1x
37  1x

a protože 3 se modulo 5 chová jako -2, 7 jako 2, 11 jako 1, 13 jako -2, 19 jako -1 a jiné varianty nejsou, tak o prvočísla, která jsou modulo 5 rovna jedné se starat nemusíme, u těch, která jsou modulo 5 rovna mínus jedné, se budeme starat jen o znaménko podle toho, je-li jich sudý nebo lichý počet, a ostatní můžeme převést modulo 5 na mocniny dvojky, celkem:

2    29
3    -19     (chová se jako -2, proto to mínus)
7    6        (chová se jako 2)
11  nic      (chová se jako 1, tedy nás nezajímá, nic nezmění)
13  -3       (chová se jako -2, proto to mínus)
17  2        (chová se jako 2)
19  +        (chová se jako -1, ale byla sudý počet krát)
23  -1       (chová se jako -2, proto to mínus)
29  -         (chová se jako -1 a byla lichý počet krát)
31  nic      (chová se jako 1, tedy nás nezajímá, nic nezmění)
37  1        (chová se jako 2)

celkem tedy máme 15 dvojek, násobky 4 můžeme odečíst, protože 2^4 je 1 modulo 5, proto zbyla "mínus jedna dvojka" a máme jednu zněmu znaménka, takže celkem +2 (modulo 5). Musíme tento nejmenší kladný zbytek modulo 5 vynásobit tou dopředu odloženou dvojkou, čímž máme výsledek 4 modulo 10.

Tento druhý hide je asi až příliš složitý pro SŠ, ale nemusel jsem zase vlastně téměř nic násobit.