Matematické Fórum

Ferry · 01. 05. 2011 16:09

Jestliže je p součet a q součin dvou čísel, potom platí: 4q <= p^2. Jak to dokážu?

OiBobik · 01. 05. 2011 16:12

↑ Ferry:

Napiš si $p=a+b, q=ab$ a dosaď do nerovnosti.

Ferry · 01. 05. 2011 16:14

Jak jako dosaď do nerovnosti? To nechápu.

OiBobik

↑ Ferry:

Inu, máš nerovnost, kterou chceš dokázat: 4q <= p^2

Tak do ní zkus dosadit ty výrazy, co jsem psal výše.

Až to budeš mít, zkus to nějak vhodně upravit (nejlépe, abys převedl všechno na jednu stranu a na druhé ti zbyla jen 0).

Ferry · 01. 05. 2011 16:21

Potom mi tam ale vznikne a^2 i b^2.

OiBobik · 01. 05. 2011 16:24

↑ Ferry:

No, jak ta nerovnost pak bude vypadat?

Ferry · 01. 05. 2011 16:29

4*(a*b) <= (a+b)^2 ?

OiBobik

↑ Ferry:

No, to je přesně ono. Tak a teď to jen uprav tak, abys měl všechno na jedné straně a nulu na druhé, navíc ten výraz (a+b)^2 rozlož podle známého vzorce. Co ti potom na té jedné straně nerovnice vznikne?

Ferry · 01. 05. 2011 16:32

4ab <= a^2 + 2ab + b^2

OiBobik · 01. 05. 2011 16:40

↑ Ferry:

Převeď ty 4ab na druhou stranu.

Ferry · 01. 05. 2011 16:42

tak vznikne 0 <= a^2 - 2ab + b^2

OiBobik · 01. 05. 2011 16:44

↑ Ferry:

No. Te´d se podívej na ten výraz na pravé straně. Dá se nějak upravit (stáhnout do nějaké "kratší" podoby)?

Ferry · 01. 05. 2011 16:47

Nic kromě (a-b)^2 mě nenapadá

OiBobik · 01. 05. 2011 16:49

↑ Ferry:

to je přesně ono ; ))

Takže my vlastně chceme dokázat nerovnici $(a-b)^2 \geq 0$ . No a ta přece platí pro libovolná reálná a,b, nebo ne?

Ferry · 01. 05. 2011 17:22

A tím jsem dokázal, že je p součet a q součin dvou čísel a potom platí: 4q <= p^2?

byk7 · 01. 05. 2011 17:39

↑ Ferry: přesně tak

OiBobik · 01. 05. 2011 17:48

↑ Ferry:

Jj.

Větší smysl to samozřejmě dává pozpátku:

$\forall a,b \in \mathbb{R}: \\ (a-b)^2\geq & 0 \\ a^2-2ab+b^2\geq & 0\teaxt{ } /+4ab \\a^2+2ab+b^2 \geq & 4ab \\ (a+b)^2 \geq & 4ab \\ p^2 \geq & 4q$

Matematické Fórum

#1 01. 05. 2011 16:09

Úloha ke kvadratickým rovnicím

#2 01. 05. 2011 16:12

Re: Úloha ke kvadratickým rovnicím

#3 01. 05. 2011 16:14

Re: Úloha ke kvadratickým rovnicím

#4 01. 05. 2011 16:16 — Editoval OiBobik (01. 05. 2011 16:18)

Re: Úloha ke kvadratickým rovnicím

#5 01. 05. 2011 16:21

Re: Úloha ke kvadratickým rovnicím

#6 01. 05. 2011 16:24

Re: Úloha ke kvadratickým rovnicím

#7 01. 05. 2011 16:29

Re: Úloha ke kvadratickým rovnicím

#8 01. 05. 2011 16:31 — Editoval OiBobik (01. 05. 2011 16:32)

Re: Úloha ke kvadratickým rovnicím

#9 01. 05. 2011 16:32

Re: Úloha ke kvadratickým rovnicím

#10 01. 05. 2011 16:40

Re: Úloha ke kvadratickým rovnicím

#11 01. 05. 2011 16:42

Re: Úloha ke kvadratickým rovnicím

#12 01. 05. 2011 16:44

Re: Úloha ke kvadratickým rovnicím

#13 01. 05. 2011 16:47

Re: Úloha ke kvadratickým rovnicím

#14 01. 05. 2011 16:49

Re: Úloha ke kvadratickým rovnicím

#15 01. 05. 2011 17:22

Re: Úloha ke kvadratickým rovnicím

#16 01. 05. 2011 17:39

Re: Úloha ke kvadratickým rovnicím

#17 01. 05. 2011 17:48

Re: Úloha ke kvadratickým rovnicím

Zápatí