Matematické Fórum

veronica · 02. 06. 2008 21:36

Ahoj, potřebuju pomoc s tímto příkladem:

Lineární operátor $\phi : R^3 -> R^3$ je symetrií podle přímky $x_1 - x_2 = 0, x_2 + x_3 = 0$ .
Najděte nejprve matici operátoru $\phi$ ve vhodné ortonormální bázi $\alpha$ a potom matici operátoru $\phi$ ve standartní bázi.

Všem moc děkuju

Kondr · 02. 06. 2008 23:23

Směrový vektor té přímky je (1,1,-1), ten se zobrazí na sebe. Na přímku jsou kolmé například vektory
(1,0,1) a (0,1,1). Najdeme ortogonální bázi roviny, kterou určují:(1,0,1),(1,-2,-1). Tyto vektory se zobrazí na své -1-násobky.
Vzhledem k bázi (1,1,-1),(1,0,1),(1,-2,-1) má tedy transformace matici M
1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
Stejnou matici má i vůči bázi (1/sqrt(3),1/sqrt(3),-1), (1/sqrt(2),0,1/sqrt(2)), (1/sqrt(6),-2/sqrt(6),-1/sqrt(6)), která vznikla ortonormalizací báze ortogonální.

Matici vůči standardní bázi získáme jako TMT^(-1), kde T je matice přechodu od naší ortonormální báze ke kanonické (T je tvořena bázovými vektory zapsanými po sloupcích). Důvod, proč jsme ji ortonormalizovali je ten, žeT^(-1) získáme z T pouhým transponováním.

Součin matic se mi počítat nechce, zkoušku lze provést ověřením toho, že se bázové vektory zobrazí na své 1 resp. -1-násobky.

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2008 21:36

lineární operátor

#2 02. 06. 2008 23:23

Re: lineární operátor

Zápatí