Matematické Fórum

Choosen

Dobrý den
Mám zde příklad týkající se báze, dimenze ... i s řešením. Chci vás poprosit, zda-li by jste mi mohli řešení příkladů zkontzrolovat.

1, Zadání: Je dána sousotava homogenních rovnic ${a+2b-c =0 \choose a-b+3c=0}$ . Ověřte, že množina $M$ všech řešení této soustavy je vektorový podprostor prostoru~ $\mathbb{R}^3$ . Určete dimenzi $\text{dim}\,M$ a dále najděte alespoň jednu bázi vektorového prostoru $M$ .

Řešení: Elementárními transformacemi na matici
\begin{displaymath}
A=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 3
\end{array}
\right)
\end{displaymath}
jsem dospěl k matici
\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -1 \\
0 & -3 & 4
\end{array}
\right)
\end{displaymath}

Hodnost matice $h(A)=2$ , mám 3 neznámé, tudíž dimenze bude $\mathrm{dim}(A)=3-2=1$ . Je to správně???
Řešením soustavy je $(a{,}b{,}c)=t\,.(-5{,}4{,}3)\,,\quad\forall t\in\mathbb{R}$ . Mohu tedy tvrdit, že bází může být například $(-5{,}4{,}3)$ . Je to tak správně?
Zda-li je $M$ podprostorem vektorového prostoru $\mathbb{R}^3$ jsem zjišťoval pomocí uzavřenosti, tedy
$\forall a{,}b\in M$ platí $a+b\in M$ a $\forall u\in T,\text{ }\forall a\in M$ platí $u{.}a\in M$ což vychází. Pro jistotu jsem zjistil i nulový prvek. Mou odpovědí tedy je, že $M$ je vektorovým podprostorem vektorového prostoru $\mathbb{R}^3$ . Je to správně? A ještě se zeptám, pokud zjišťuji, zda nějaká množina je podprostorem nějakého prostoru, pak stačí ověřit tu podmínku uzavřenosti? Je to dostačující?

OiBobik

↑ Choosen:

Všechno správně.

Pokud máš množinu vektorů z nějakého vektorového prostoru (což je zřejmě tento případ - M je podmnožina vekt. prostoru R^3), stačí ověřit onu uzavřenost na operace, tedy že množina obsahuje libovolný r-násobek svého vektoru (pro všechna r z uvažovaného tělesa, zde reálná čísla) a součet libovolných dvou svých vektorů. To, že obsahuje neutrální prvek, tedy nulový vektor, už z těchto dvou plyne (je-li množina neprázdná) - stačí vzít 0-násobek nějakého vektoru z M.

A jen tak pro úplnost - existence invrezního prvku ke sčítání (tedy vektoru -u k vektoru u) plyne taky z těch uzavřeností a navíc z toho, že v tělese, nad nímž vektorový prostor uvažujeme, je -1 jakožto inverzní prvek ke sčítání pro 1: pak pro lib. u v množině je i (-1)*u, přičemž 1*u+(-1)*u=(1+(-1))*u (to plyne z vlastností vektorového prostoru) =0*u=0.

Choosen · 04. 05. 2011 10:35

Děkuji.

Matematické Fórum

#1 03. 05. 2011 23:22 — Editoval Choosen (03. 05. 2011 23:28)

Báze a dimenze vektorového podprostoru - příklad

#2 03. 05. 2011 23:35 — Editoval OiBobik (04. 05. 2011 00:01)

Re: Báze a dimenze vektorového podprostoru - příklad

#3 04. 05. 2011 10:35

Re: Báze a dimenze vektorového podprostoru - příklad

Zápatí