Matematické Fórum

wendelin9 · 06. 05. 2011 11:21

Ahoj,

mám problém s tímto příkladem:

Konverguje rada Sum((1/5)^n*n!*2^n/exp(n)/(n+2),n = 1 .. infinity)?

... může mi prosím někdo poradit, co s tím?

Díky
Vendy

wendelin9 · 06. 05. 2011 11:46

Upravila jsem to takhle:

(2/5e)^n*n!
Sum --------------
n+2

... nějaké rady, co mám dělat dál? Bohužel takto složitý příklad jsem ještě neřešila a netuším jak na něj.

OiBobik

↑ wendelin9:

Je to tato suma?

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{\left(\frac{1}{5}\right)}^n 2^n n!}{e^n(n+2)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{\left(\frac{2}{5}\right)}^n n!}{e^n(n+2)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{\left(\frac{2}{5e}\right)}^n n!}{(n+2)}$

Edit: Vidím, že je: )) tak to tu nechme viset, ať to tu je pěkně TeXově.

Na to vypadá, že se bude hodit limitní podílové kritérium.

wendelin9 · 06. 05. 2011 12:17

↑ OiBobik:

omlouvám se, zapomněla jsem dopsal n=1..infinity

.. podle toho vzorečku z odkazu mám tedy spočítat, jestli je L</>/= 1 ...? Nebo se nechytám, a odpověď na dotaz, zda řada konverguje, už je jasná? :P

OiBobik · 06. 05. 2011 12:30

↑ wendelin9:

Ano, stačí spočítat $L=\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{{\left(\frac{2}{5e}\right)}^{n+1} (n+1)!}{(n+1+2)}}{\frac{{\left(\frac{2}{5e}\right)}^n n!}{(n+2)}}$ .

Když ti L vyjde větší jak jedna (nedejbože třeba plus nekonečno : )) ), pak suma diverguje. Pokud ti limita vyjde menší než 1, pak konverguje.

wendelin9 · 06. 05. 2011 13:22

↑ OiBobik:

já sem z toho jelen.. vynásobila jsem čitatele složeného zlomku opačnou hodnotou jmenovatele.. faktoriálu se zbavím a v čitateli mi z něj zůstane (n+1)... mohu si převést ze jmenovatele do čitatele (2/5e)^n..? tedy exponent se mi změní na -n... z násobku (2/5e)^-n * (2/5e)^n+1 pak dostanu v čitateli (2/5e) ---> nebo je to kravina?..

pokud není, tak mi zbylo:

(2/5e)*(n+1)*(n+2)
----------------------
(n+3)

.. je to správně? jestli ano, co mám, prosím, dělat dál..?

(jestli ne, začínám težce pochybovat o svých matematických znalostech)

jelena · 06. 05. 2011 14:07

↑ wendelin9:

:-) řekla bych, že úprava (i přes dramatičnost a bohatost slovní zásoby komentáře) je v pořádku, tedy dle doporučení kolegy OiBobika (děkuji) máš určit limitu:

$L=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{2}{5e}(n+1)(n+2)}{n+3}$

Podaří se? Děkuji.

wendelin9 · 06. 05. 2011 14:21

↑ jelena:

Po roznásobení (n+1)*(n+2) jsem vydělila celý zlomek n^2.. zbylo mi tedy jen 2/5e... je t osprávně?

jelena · 06. 05. 2011 14:44

↑ wendelin9:

Bylo by snadnější, kdybys klepla na zápis z mého příspěvku (který jsem převzala z příspěvku kolegy), čímž se zápis v TeX přenese do Tvé zprávy, můžeš ho upravit dle návodu.

Myslím si, že z úprav zůstane více a asi bych vytkla jen $n$ v čitateli a v jmenovateli. Děkuji.

Rumburak

↑ wendelin9:
Není to špatně, záleží ovšem také na tom, jaký z toho odvodíš závěr.

Jiné možnosti, jak postupovat:

ALTERNATIVA 1: vydělíme čitatele i jmenovatele výrazem n a dostaneme se k limitě

$L=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{2}{5e}(1+\frac{1}{n})(n+2)}{1+\frac{3}{n}}$ ,

i tuto limitu lze určit snadno.

ALTERNATIVA 2: jakou hodnotu má

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty}\frac{{\left(\frac{2}{5e}\right)}^n n!}{(n+2)}$ ?

Již ná základě této hodnoty lze (v tomto případě !) učinit správný závěr, pokud ji umíme vypočítat (což je ale obtížnější
než u limity předchozí).

wendelin9 · 06. 05. 2011 15:06

↑ Rumburak:

z alternativy 1:

$L=\lim_{n \to \infty}\frac{2}{5e}(n+2)$

???

OiBobik

↑ wendelin9:

No, a kolik je limita výrazu (nenulová kladná konstanta)*n, když n jde do nekonečna?

wendelin9 · 06. 05. 2011 15:38

↑ OiBobik:

plus nekonečno?

OiBobik · 06. 05. 2011 15:43

↑ wendelin9:

Ano, plus nekonečno; tedy vyšetřovaná řada konverguje, nebo diverguje?

Rumburak · 06. 05. 2011 15:43

↑ wendelin9:
V té alternativě 1 jsem původně měl překlep ve jmenovateli - omlouvám se (už dříve jsem si ho sám všiml a opravil).
Výsledek L = +oo je správně, stejnou hodnotu má i limita z alt. 2.

wendelin9 · 06. 05. 2011 15:44

↑ OiBobik:

diverguje.. ? :P

wendelin9 · 06. 05. 2011 16:11

děkuju všem za pomoc!!!!

Matematické Fórum

#1 06. 05. 2011 11:21

Konvergence řady

#2 06. 05. 2011 11:46

Re: Konvergence řady

#3 06. 05. 2011 11:51 — Editoval OiBobik (06. 05. 2011 11:53)

Re: Konvergence řady

#4 06. 05. 2011 12:17

Re: Konvergence řady

#5 06. 05. 2011 12:30

Re: Konvergence řady

#6 06. 05. 2011 13:22

Re: Konvergence řady

#7 06. 05. 2011 14:07

Re: Konvergence řady

#8 06. 05. 2011 14:21

Re: Konvergence řady

#9 06. 05. 2011 14:44

Re: Konvergence řady

#10 06. 05. 2011 14:54 — Editoval Rumburak (06. 05. 2011 15:04)

Re: Konvergence řady

#11 06. 05. 2011 15:06

Re: Konvergence řady

#12 06. 05. 2011 15:37 — Editoval OiBobik (06. 05. 2011 15:43)

Re: Konvergence řady

#13 06. 05. 2011 15:38

Re: Konvergence řady

#14 06. 05. 2011 15:43

Re: Konvergence řady

#15 06. 05. 2011 15:43

Re: Konvergence řady

#16 06. 05. 2011 15:44

Re: Konvergence řady

#17 06. 05. 2011 16:11

Re: Konvergence řady

Zápatí