Matematické Fórum

Azeret · 06. 05. 2011 17:12

Ahoj, nemůžu nikde najít přesnou definici toho, co znamenají omezené částečné součty.
Pokud vyjdu z toho, co mam napsáno v sešitě, pak platí
$\sum_{n=1}^{k} 2^n \leq k \cdot 2^k = K$ , tedy poslouptnost $2^k$ má omezené částečné součty.
Je to tak správně? (to by pak omezené částečné součty neměly pouze řady, které nejsou pro nějaké hodnoty
definovány . . )

Díky

OiBobik

↑ Azeret:

O omezených částečných součtech se mluví u nekonečných řad - řada má omezené částečné součty zkrátka tehdy, je-li posloupnost částečných součtů omezená : ))
např. $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$ , $\sum_{n=1}^{\infty}\cos \frac{n \pi}{5}$ mají omezenou posloupnost částečných součtů.

Jestli se to používá v jiném kontextu, tak se předem omlouvám. Konečné posloupnosti (jejich sumy) by pak měly omezenou posloupnost částečných součtů triviálně.

Azeret · 06. 05. 2011 17:22 — Editoval Azeret (06. 05. 2011 17:23)

↑ OiBobik:
ok, super, a pokud si tedy vemu nekonečnou řady $\sum_{n=1}^{\infty} 2^k$ , má omezené částečné součty? . .díky

OiBobik

↑ Azeret:

Ta omezené částečné součty nemá. Když ti dám libovolné reálné (búno celé kladné) K , pak určitě existuje $n_0$ takové, že (n_0)-tý částečný součet toto K přeleze (bude větší než K). U tak hezké posloupnosti se dá dokonce i první takové $n_0$ nalézt:

$\sum_{n=1}^{k}2^n=S_k \\ 2\cdot \sum_{n=1}^{k}2^n=\sum_{n=2}^{k+1}2^n=&2S_k \\ S_k=2S_k-S_k=\sum_{n=2}^{k+1}2^n-\sum_{n=1}^{k}2^n=2^{k+1}-2$

odtud pak vidíš, že potřebuješ $n_0>\log_2(K+2) -1$ , jestli jsem teď někde v rychlosti neudělal chybu. To ale není podstatné, důležité je, že to někdy přeroste. ; )

EDIT: to, co jsem psal, platí pro $\sum_{n=1}^\infty 2^n$ ; jestlis psal schválně $\sum_{n=1}^{\infty}2^k$ , tak se omlouvám a tady ten můj odhad pro n_0 neplatí; stále však platí, že řada nemá omezené částečné součty (n-tý částečný součet by potom byl zkrátka $n \cdot 2^k$ ).

Azeret · 06. 05. 2011 17:46

↑ OiBobik:
Aha, takze fakt, ze ma rada omezene castecne soucty, by sel formulovat tak, ze $\exists K$ takové, že $\forall n_0$ : $\sum_{n=1}^{n_0} a_n \leq K$

OiBobik

↑ Azeret:

Jo, to je ono. Akorát ideálně tu sumu dát ještě do absolutní hodnoty (částečné součty můžou klesat do -oo, to taky nechceme).
Neboli, když si Sn označíš n-tý částečný součet, pak je to ta skutečnost, že posloupnost Sn je omezená.

Azeret · 06. 05. 2011 20:47

↑ OiBobik:
super, díky moc!

Matematické Fórum

#1 06. 05. 2011 17:12

Omezené částečné součty

#2 06. 05. 2011 17:20 — Editoval OiBobik (06. 05. 2011 17:24)

Re: Omezené částečné součty

#3 06. 05. 2011 17:22 — Editoval Azeret (06. 05. 2011 17:23)

Re: Omezené částečné součty

#4 06. 05. 2011 17:35 — Editoval OiBobik (06. 05. 2011 21:09)

Re: Omezené částečné součty

#5 06. 05. 2011 17:46

Re: Omezené částečné součty

#6 06. 05. 2011 17:51 — Editoval OiBobik (06. 05. 2011 17:52)

Re: Omezené částečné součty

#7 06. 05. 2011 20:47

Re: Omezené částečné součty

Zápatí