Matematické Fórum

Choosen · 06. 05. 2011 21:20

Dobrý den. Chci se vás zeptat, co znamená řešení obyčejných diferenciálních rovnic na intervalu? Můžete mi to nějak vysvětlit? Znamená to, že řeším ODR na předem zadaném intervalu? Nějak to nechápu.

Dana1 · 06. 05. 2011 21:26 — Editoval Dana1 (06. 05. 2011 21:30)

↑ Choosen:

Pomôže?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Choosen

Děkuji za odpověď. Mám ale ještě jednu otázku. Nevím, jestli jsem dobře pochopil pojmy obecné , partikulární a singulární řešení ODR.
Můžete mi prosím napsat nějaký příklad obecného, partikulárního a singulárního řešení?
Pochopil jsem to takto, že:
řekněme, že mám zadanou diferenciální rovnici $y''-y'=-1$ . Tuto rovnici vyřeším - $y=C_1{.}e^x+C_2$ .
Znamená tedy, že obecné řešení je $C_1{.}e^x+C_2$ . Řekněme dále, že vím, že platí podmínky $y(0)=1$ a $y'(0)=2$ . Pak mi vyjde výsledek $y=x+C_1{.}e^x+C_2$ a po dosazení $y=x+e^x$ . Partikulárním řešením je pak $x$ a nebo $x+e^x$ ? A singulární řešení znamená, že je to takové řešení, které nezjistím žádnou volbou $C_1$ a $C_2$ ? Je to tak?
Zkuste mi to vysvětlit třeba na příkladech. Moc děkuji.

jarrro · 06. 05. 2011 22:05 — Editoval jarrro (06. 05. 2011 22:23)

↑ Choosen:všeobecné je $y=x+C_1{.}e^x+C_2$ ostatné máš pravdu
singulárne riešenia vznikajú keď robíš napr.nejaké úpravy s rovnicou a napr. by si delil nulou tak ti môže vzniknúť singulárne riešenie často ide o limitný prípad keď koeficienty c idú do nekonečna či mínus nekonečna
typický príklad singulárnych riešení je napr.
$p_1\left(x\right)q_1\left(y\right)+p_2\left(x\right)q_2\left(y\right)y^{\prime}=0$ vydelením q1*p2 to prejde na separovanú,ale konštatntné funkcie
y=a, kde q1(a)=0 sú tiež riešením danej rovnice

Choosen · 06. 05. 2011 22:23

to jarrro: Omlouvám se, zrovna jsem editoval přízpěvek když jsi mi odepsal.
Ok, takže jestli to teda dobře chápu, tak OBECNÉ ŘEŠENÍ je takové, které mi vyjde když neuvažuji počáteční podmínky. PARTIKULÁRNÍ ŘEŠENÍ je takové, které mi vyjde, když ony počáteční podmínky započítám. A SINGULÁRNÍ ŘEŠENÍ je takové, které z toho obecného nezískám. Chápu to dobře?
Uvedu příklad.
Nechť mám vyřešit DR $y''-y'=e^x$ . OBECNÉ ŘEŠENÍ bude $y=x{.}e^x+C_1+C_2{.}e^x$ . Je to tak?
Pokud navíc přidám podmínky, že $y(0)=0$ a $y'(0)=1$ , pak mi vyjde, že $C_1=C_2=0$ a tedy PARTIKULÁRNÍ ŘEŠENÍ bude $y=x.e^x$ . Chápu to dobře?
No a singulární řešení by bylo takové řešení, které nelze získat jakoukoli volbou $C_1$ a $C_2$ .