Matematické Fórum

janca361 · 06. 05. 2011 18:39

Zdravím,
mám příklad:
Je dána kvadratická rovnice $x^2-27x+180=0$ . Aniž byste počítali její kořeny, napište kvadratickou rovnici, jejímiž budou kořeny jsou převrácené hodnoty kořenů zadané rovnice.

Vůbec si nevím rady :( Poradí někdo jak na to? Předem děkuji.

Bawler · 06. 05. 2011 18:44 — Editoval Bawler (06. 05. 2011 18:48)

Tak, tady musíš znát pár věcí. Musíš vědět(nejsem si tímhle ale jistý), že máš rovnici ax^2 + py + q = 0. Dále musíš vědět, že x1 + x2 = -p. A že x1*x2 = q. A x1 a x2 jsou jinak kořeny. Tak skus něco navrhnout.

Dana1 · 06. 05. 2011 18:48 — Editoval Dana1 (06. 05. 2011 18:49)

↑ Bawler:

Myslím, že čo si napísal, funguje len vtedy, keď a = 1.

Bawler · 06. 05. 2011 18:52 — Editoval Bawler (06. 05. 2011 18:56)

Nemělo by. Takže napíšeš si x1 + x2 = -p. Takže x1 + x2 = 27. Poté x1*x2 = 180. A teď dosadíš. 1/x1 + 1/x2 = (x1+x2)/x1*x2 = 27/180. Takže -p' = 27/180. Druhý kořen bude zase 1/x1*1/x2 = 1/x1*x2 = 1/180. Takže q' = 1/180. A teď to převedeš zpět na rovnici ax + py + q = 0. Teď si musíš dát pozor na to -p', musíš opět změnit znaménko. Takže výsledná rovnice bude x^2 - 27/180x + 1/180 = 0.

EDIT: Ještě jsem to zapomněl zkrátit. Takže x^2 - 3/20x + 1/180 = 0. Můžeš to zkontrolovat výpočtem kořenů obou rovnic.

Phate · 06. 05. 2011 18:54 — Editoval Phate (06. 05. 2011 18:55)

↑ Bawler:
ale ano melo, protoze ty vztahy jsou $x_1+x_2=-\frac{p}a$ a $x1*x2=\frac{q}a$

Bawler · 06. 05. 2011 19:03 — Editoval Bawler (06. 05. 2011 19:06)

Ano máte pravdu. Je to pro a = 1. Dlouho jsem to nepočítal, takže si to už tak dobře nepamatuji.

janca361

$x^2-27x+180=0$
-normovaná kvadratická rovnice platí tedy:
$x^2 + px + q = 0$
$x_1x_2=q$
$x_1+x_2=-p$

A teď nějak nerozumím tomu, jak udělat ty obrácená čísla kořenů $x_1$ a $x_2$ .

EDIT: Opraven vztah pro kořeny, ↑ Dana1: děkuji za upozornění.

Hanis · 07. 05. 2011 19:48

musíš najít rovnici, které budou vyhovovat kořeny $a_1=\frac{1}{x_1}$ a $a_2=\frac{1}{x_2}$

Dana1 · 07. 05. 2011 19:49 — Editoval Dana1 (08. 05. 2011 19:53)

↑ janca361:

Ten vzťah pre korene nemáš dobre, chybička se vloudila ...

Kolega Bawler to popísal v príspevku #4 dobre.

Vysvetlenie:

Korene tej novej rovnice majú byť $\frac{1}{x_1}$ a $\frac{1}{x_2}$ .

Pretože sú to korene kvadratickej rovnice, tiež musia pre ne platiť vzťahy, že

a) keď tie korene medzi sebou vynásobíš, dostaneš absolútny člen (hľadanej) kvadratickej rovnice, teda člen bez x

b) a keď tie korene sčítaš, dostaneš číslo pri x v (hľadanej) kvadratickej rovnici, ibaže s opačným znamienkom.

Takže urobíš súčet koreňov hľadanej rovnice, je to $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}= \frac {x_2 + x_1}{x_2 \cdot x_1}$ .

Hodnoty $x_1 + x_2$ a $x_1\cdot x_2$ už poznáš z pôvodnej kvadratickej rovnice, dosadíš ich a zmeníš znamienko výsledku. Čo Ti vyjde, je číslo pri x v hľadanej kvadratickej rovnici.

Podobne uvážiš, že hodnota $\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}$ je absolútny člen v hľadanej rovnici.

Dana1 · 07. 05. 2011 20:01 — Editoval Dana1 (07. 05. 2011 20:07)

↑ miso16211:

Napísal si:

1.vypocitas kvadraticku rovnicu co mas

Zadanie bolo:

Je dána kvadratická rovnice . Aniž byste počítali její kořeny, napište kvadratickou rovnici, jejímiž budou kořeny jsou převrácené hodnoty kořenů zadané rovnice.

Pri riešení zadanej úlohy sa využívajú Vietove vzorce.

miso16211 · 07. 05. 2011 20:07

da sa tak ze prevratis vzorce a nejak tak urobis rovnicu ale vid zda je jasne ze ten kto tu to dal nema to jasni tak tu ma ten jednoduchsi ale zlozitejsi na pisanie priklad

Phate · 07. 05. 2011 20:13 — Editoval Phate (07. 05. 2011 20:14)

↑ miso16211:↑ miso16211:
Ahoj Miso, uz jsem tu nekolikrat videl, jak az moc emotivne odpovidas a kdyz se te nekdo snazi opravit, tak se akorat zatvrdis a stojis si za svym, mozna by jsi mohl i obcas ustoupit. Jinak vyvaruj se vice prispevku za sebou, existuje tu tlacitko Editovat, kterym se da doplnit/upravit svuj prispevek.

OiBobik

↑ janca361:

Tak snad zpátky k tomu příkladu:

Mimochodem, asi ses přepsala, platí:
$x^2 + px + q = 0$
$x_1x_2=q$
$x_1+x_2=-p$
(Není si to třeba nijak pamatovat - plyne to prostě z toho, že polynom oné kvadratické rovnice lze zapsat ve tvaru $(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$ .)

No a teď nám jde o to, najít koeficienty $p_1,q_1$ tak, že
$\frac{1}{x_1}\frac{1}{x_2}=q_1$ (odtud by už mohlo bý dobře vidět, jak takové q1 bude vypadat vůči q)
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-p_1$ (to by po úpravě levé strany mělo být taky ihned jasné, jak vyjádřit p1 pomocí p a q)

no a pak stačí zkrátka položit p=-27, q=180 a máš to. ; ))

↑ Dana1:

Vidím, že tu vlastně neříkám nic nového, tak to se omlouvám (příspěvek jsem přehlédl přes následné... nazvěme to diskuze a polemiky). Nechám to však přece jen viset, ať to téma má na konci příspěvek k tématu.

Pavel Brožek · 08. 05. 2011 13:17

↑ miso16211:

Tvůj postup je špatně, neodpovídá zadání. Na tom nic další debatou nezměníš.

Myslím, že výpočet kořenů kvadratické rovnice je obvykle probírán před Vietovými vzorci. Tato úloha slouží na procvičení Vietových vzorců. I když se dají kořeny trojčlenu najít poměrně lehko, je to zbytečně složitý postup, přes Vietovy vzorce se k výsledku dostaneme snadněji.

anes · 08. 05. 2011 13:59 — Editoval anes (08. 05. 2011 14:00)

↑ miso16211:
a) taky nechápu, k čemu má tato debata vést, tvůj post byl prostě v rozporu se zadáním úlohy
b) viz ↑ OiBobik: . Hledání kořenů narozdíl od jednoduchého roznásobení závorek není úplně banální a pro rovnici vyšších řádů bys nepochodil vůbec (až na speciální případy s hezkými koeficienty). To, že tě naučili zrovna hledat kořeny kvadraticé rovnice, ještě neznamená, že to je jednodušší a lepší postup.

janca361

Dana1 napsal(a):
Takže urobíš súčet koreňov hľadanej rovnice, je to $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}= \frac {x_2 + x_1}{x_2 \cdot x_1}$ .

Jak si k tomu došla.

↑ miso16211:
Naprosto mimotematické příspěvky. Nedokážeš uznat vlastní chybu. Opravdu si mě pobavil tvým bodem:

miso16211 napsal(a):
9 chcem plus zeto ze ako jediny tu viem normalne napisat co a jak a ziadne nie normovana rovnica atď.

neznám tady nikoho jiného, kdy by si žádal o + a to je tu spousta lidí, co tu předvádí daleko lepší právci než ty...

↑ OiBobik:
Nemám to :(

Tady jsme skončila:
$x^2-27x+180=0$
$x^2 + px + q = 0$
$x_1x_2=-p$
$x_1+x_2=q$

$p=27$
$q=180$

Převrácené kořeny:
$y_1=\frac{1}{x_1}$
$y_2=\frac{1}{x_2}$

$y_1y_2=q_y \nl \frac{1}{x_1}\frac{1}{x_2}=q_y$
$y_1+y_2=-p_y \nl \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-p_y$

Snad už se pomalu, ale jistě blížím cíli.

Dana1 · 08. 05. 2011 18:58 — Editoval Dana1 (08. 05. 2011 18:58)

↑ janca361:

$x_1+x_2=-p$ znamená, že p v pôvodnej rovnici je 27

Ten druhý riadok je zle:
$y_1+y_2=-p_y \nl \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=q_y$

janca361 · 08. 05. 2011 19:43

↑ Dana1:
Zase jsem to nevychytala :(
Chyby opraveny.

Ale pořád nevím, jak se dostat k rovnici s opačnými kořeny.

Dana1 · 08. 05. 2011 19:50 — Editoval Dana1 (08. 05. 2011 20:00)

↑ janca361:

Podľa zadania potrebuješ prevrátené korene.

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}= \frac {x_2 + x_1}{x_2 \cdot x_1}$

$x_2 + x_1 = 27$ , lebo sú to korene pôvodnej rovnice a platí $x_2 + x_1 = -p$ v pôvodnej rovnici

$x_1\cdot x_2 = 180$ , lebo sú to korene pôvodnej rovnice a platí $x_1\cdot x_2 = q$ v pôvodnej rovnici

Všetko Ti to napísal Bawler, aj hľadanú rovnicu, vysvetľovala som to ja ...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pýtaj sa, čo nebolo jasné.

anes · 08. 05. 2011 20:02 — Editoval anes (08. 05. 2011 20:04)

Naše zadaná rovnice bude mít nějaké kořeny -a, -b (o jejich hodnotu se nijak nezajímáme)
$0 = (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$
rovnice s převrácenými kořeny bude vypadat takto
$0 = \left(x+\frac{1}{a}\right)\left(x+\frac{1}{b}\right) = x^2 + \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)x + \frac{1}{ab} = x^2 + \left(\frac{a+b}{ab}\right)x + \frac{1}{ab}$

A vidíš, že pro výpočet hledaných koeficientů na pravé straně druhé rovnice ti stačí znát jen (a+b) a ab, které vyčteš z koeficientů rovnice první.
Cvičně si můžeš v podstatě to samé udělat pro kubickou rovnici.

janca361 · 08. 05. 2011 20:22

Mám to.

↑ Dana1:
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}= \frac {x_2 + x_1}{x_2 \cdot x_1}$
veděděla jsme, jak si se k tomuto vztahzu dostala, ale už mi to došlo.

Děkuji všem za snahu. Vím, že to se mnou bylo těžké, ale nakonec se podařilo.

Dana1 · 08. 05. 2011 20:24

↑ janca361:

:-) Veľa zdaru...

Matematické Fórum

#1 06. 05. 2011 18:39

Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#2 06. 05. 2011 18:44 — Editoval Bawler (06. 05. 2011 18:48)

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#3 06. 05. 2011 18:48 — Editoval Dana1 (06. 05. 2011 18:49)

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#4 06. 05. 2011 18:52 — Editoval Bawler (06. 05. 2011 18:56)

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#5 06. 05. 2011 18:54 — Editoval Phate (06. 05. 2011 18:55)

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#6 06. 05. 2011 19:03 — Editoval Bawler (06. 05. 2011 19:06)

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#7 07. 05. 2011 19:33 — Editoval janca361 (08. 05. 2011 18:31)

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#8 07. 05. 2011 19:48

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#9 07. 05. 2011 19:49 — Editoval Dana1 (08. 05. 2011 19:53)

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#10 07. 05. 2011 19:58 — Editoval miso16211 (07. 05. 2011 20:02) Příspěvek uživatele miso16211 byl skryt uživatelem miso16211.

#11 07. 05. 2011 20:01 — Editoval Dana1 (07. 05. 2011 20:07)

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#12 07. 05. 2011 20:05 Příspěvek uživatele miso16211 byl skryt uživatelem miso16211.

#13 07. 05. 2011 20:07

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#14 07. 05. 2011 20:13 — Editoval Phate (07. 05. 2011 20:14)

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#15 07. 05. 2011 22:54 — Editoval OiBobik (07. 05. 2011 23:06)

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#16 08. 05. 2011 11:54 Příspěvek uživatele miso16211 byl skryt uživatelem miso16211.

#17 08. 05. 2011 13:17

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#18 08. 05. 2011 13:59 — Editoval anes (08. 05. 2011 14:00)

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#19 08. 05. 2011 18:54 — Editoval janca361 (08. 05. 2011 20:03)

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

Dana1 napsal(a):

miso16211 napsal(a):

#20 08. 05. 2011 18:58 — Editoval Dana1 (08. 05. 2011 18:58)

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#21 08. 05. 2011 19:43

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#22 08. 05. 2011 19:50 — Editoval Dana1 (08. 05. 2011 20:00)

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#23 08. 05. 2011 20:02 — Editoval anes (08. 05. 2011 20:04)

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#24 08. 05. 2011 20:22

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

#25 08. 05. 2011 20:24

Re: Kvadratická rovnice - určení rovnice s převrácenými kořeny

Zápatí