Matematické Fórum

roces · 08. 05. 2011 14:56

Máme lin. zobrazení f : R1[x] -> R1[x] definované předpisem f( a+bx) = a + b(x+1)

Mohl by mi někdo jak toto zapíšu jako matici lin zobrazení ? Děkuju.

OiBobik

↑ roces:

Ono asi nejlépe si uvědomit: a+b(x+1)=(a+b)+bx

Když si představím souřadnice těch polynomů ke "kanonické" bázi (tj. {1, x}), tak platí

$f\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b \\ b \end{pmatrix}$

Pomůže?

roces · 08. 05. 2011 15:40

↑ OiBobik:
Pokud si to teda uvědomuji správně tak to bude

(1 1) (a) (a+b)
(0 1) (b) = (b)

Ano?

OiBobik · 08. 05. 2011 15:55

↑ roces:

Jo, to by mělo být přesně ono. ; ))

roces · 08. 05. 2011 16:04

↑ OiBobik: $f\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b \\ b \end{pmatrix}$ $f\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b \\ b \end{pmatrix}$ $f\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b \\ b \end{pmatrix}$
Přes to bych měl ještě jeden dotaz. Mám zadanou bázi Alfa = (6+3x. 10+2x). Mam vypočítat matici zobrazení f v Alfa.

Pokud to chápu správně tak mám:

(f)standard, standard = (1 1)
(0 1)

(idR1[x])standard,alfa = (6 3)
(10 2)

(idR1[x])alfa,standard = (-1/9 1/6)
( 5/9 -1/3)

Potřebuju spočítat (f)alfa,alfa. Vztah je (f)standard, standard = (idR1[x])standard,alfa * (f)alfa,alfa * (idR1[x])alfa,standard
A tady nevím jak si to (f)alfa, alfa vyjádřit :/

OiBobik

↑ roces:

ou jé, takto tedy.

Tobě jde tedy o matici homomorfismu vzhledem k bázím alfa, alfa.

Jestli jsi si jist tím převodním vztahem a chceš jen pomoci si to (f)alfa,alfa vyjádřit:
Pak se použije následujícího postupu:
$[f]_K^K=&[id]_K^\alpha \cdot [f]_\alpha^\alpha \cdot [id]_\alpha^K \\ ([id]_K^\alpha)^{-1} \cdot [f]_K^K \cdot ([id]_\alpha^K)^{-1}=&\left( ([id]_K^\alpha)^{-1} \cdot [id]_K^\alpha \right) \cdot [f]_\alpha^\alpha \cdot \left( [id]_\alpha^K \cdot ([id]_\alpha^K)^{-1}\right) \\ ([id]_K^\alpha)^{-1} \cdot [f]_K^K \cdot ([id]_\alpha^K)^{-1}=&[f]_\alpha^\alpha$

(ono by snad dokonce mělo platit $([id]_K^\alpha)^{-1}=[id]_\alpha^K$ a naopak, ale za to neručím. ; )) )

Já se do toho ovšem vždycky zamotal, mně v takovýchto případech přišlo jednodušší použít následující postup:

1) vypočítat funkční hodnoty bázových vektorů
2) vypočítat jejich souřadnice k dané bázi (dejme tomu, že souřadnice prvního vektoru budou (a,b), druhého (c,d))
3) pak víš, že
$F \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} \\ F \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ ,
kde F je matice onoho homomorfismu vzhledem k alfa, alfa. Využiješ zkrátka toho, že souřadnice prvního bázového vektoru vzhledem k bázi jsou (1,0), druhého pak (0,1).

roces · 08. 05. 2011 16:55

↑ OiBobik:
Ten vztah jsem používal už při více úlohách když jsem počital (f)K,K. Ale teď mi to nevychází, v bázi alfa by mělo vyjít
(f)alfa, alfa = (2/3 -2/9)
(1/2 4/3)

U té tvé metody nerozumím jak najdu funkční hodnotu bázových vektorů, když znám jen předpis a bázi.

OiBobik

↑ roces:

Znáš předpis, znáš první bázový vektor, z toho už můžeš určit funkční hodnotu prvního bázového vektoru (zde konkrétně: f(6+3x)=(6+3)+3x=9+3x pro první vektor).

Jinak zkus ověřit, jestli máš správně ty identity.
(neměla by jedna z těch identit být tato:
$\begin{pmatrix}6 & 10 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ , ¨
tedy ta tvoje transponovaná? Pokud ne, pak se neshodujeme v konvenci, zdali je vektor sloupcový a násobí se maticí homomorfismu zleva (můj případ), nebo je řádkový a násobí se mat. homomorfismu zprava. V druhém případě by bylo potřeba onu matici, na které jsme se již shodli, transponovat (vypočítali jsme ji totiž tak, jako bychom uvažovali násobení zleva.)

roces · 08. 05. 2011 17:43

↑ OiBobik:
Tak to bylo tou konvencí, dík, že jsi mě na to upozornil :)

OiBobik · 08. 05. 2011 18:06

↑ roces:¨

Supr.

Jestli je to tedy vyřešeno, označ, prosím, téma jako vyřešené.

Matematické Fórum

#1 08. 05. 2011 14:56

Lineární zobrazení polynomů

#2 08. 05. 2011 15:10 — Editoval OiBobik (08. 05. 2011 15:11)

Re: Lineární zobrazení polynomů

#3 08. 05. 2011 15:40

Re: Lineární zobrazení polynomů

#4 08. 05. 2011 15:55

Re: Lineární zobrazení polynomů

#5 08. 05. 2011 16:04

Re: Lineární zobrazení polynomů

#6 08. 05. 2011 16:26 — Editoval OiBobik (08. 05. 2011 17:11)

Re: Lineární zobrazení polynomů

#7 08. 05. 2011 16:55

Re: Lineární zobrazení polynomů

#8 08. 05. 2011 17:08 — Editoval OiBobik (08. 05. 2011 17:12)

Re: Lineární zobrazení polynomů

#9 08. 05. 2011 17:43

Re: Lineární zobrazení polynomů

#10 08. 05. 2011 18:06

Re: Lineární zobrazení polynomů

Zápatí