Matematické Fórum

↑ FlyingMonkey:

Jsou knihy rozlišitelné, resp. když např. umístím všechny knihy na jednu poličku, záleží mi na tom, v jakém pořadí?

_____________________________________________________________

Ať tak či onak, prvně si rozmysleme, kolika způsoby lze 20 (prozatím nerozlišitelných) knížek rozmístit na pět regálů (jde nám tedy o to, určit počet rozvržení počtů knížek na poličky.)

Návodná představa: představ si, že máš 20 stejných kuliček v řadě a mezi ně musíš položit 4 děliče. Pak počet různých umístění těch děličů bude stejný, jako počet rozvržení těch 20 knížek na pět regálů, ne? Počet kuliček před prvním děličem bude reprezentovat počet knížek v prvním regálu, počet kuliček mezi prvním a druhým děličem počet knížek v druhém regálu... atd až počet kuliček za čtvrtým děličem počet knížek na pátém regálu.

Tedy podstatná otázka teď je: kolika způsoby lze ty čtyři děliče umístit?

(neznepokojuj se, že zatím počítáme nerozlišitelné knihy. Rozlišitelnost lze pak velmi jednoduše "dodat".)

Predpokladam, ze knihy jsou nerozlisitelne. Zkus si predstavit trochu jinou situaci, ze mas 24 jakychsi policek a na kazde policko muzes umistit knihu a nebo prepazku mezi regaly. Zvladnes to?

↑ FlyingMonkey:

Na tvé úvaze je špatně to, že uvažuješ pouze případy, kdy jsou všechny knížky v jednom regálu - můžu dát třeba 5 na první regál, 10 na druhý, 2 na třetí a 3 na poslední.

↑ FlyingMonkey:

K tomu slouží ty návodné úvahy, které se ti tu snažíme vsugerovat : ))

Proto ty děliče mezi kuličky / přepážky mezi knížky a jánevímco. Jde o to, že to je elegantní úvaha, jak spočítat počet těch počtů rozdělení na poličky.

_______________________________________________________________________________

Tak já budu asi dát rozvíjet tu moji návodnou představu.
Představ si situaci, jak jsem ji popsal.

Např rozdělení kuliček a děličů:

oooooooo|ooooo|ooooooo||ooooo

by odpovídalo rozložení na poličky: 8 na první, 5 na druhé, 7 na třetí, 0 na čtvrté a 5 na páté.

Takto lze zřejmě přidělit každému rozložení knih na poličky právě jedno rozdělení kuliček a děličů, jejich počet je tedy stejný.
(znovu opakuji, že zatím jsou pro nás knihy nerozlišitelné.)

Jde tedy o to zjistit: Kolika způsoby můžu ty čtyři děliče mezi oněch 20 kuliček rozmístit?
(nápověda k tomu: to si lze zase představit jako 24 míst, přičemž 4 z nich budou reprezentovat ony děliče a 20 kuličky/knížky)

Ja fakt nevim ... ted jsem z toho uplne mimo, vsechno se mi to smichalo dohromady a uz nevim vubec nic ... :))

V podstate ty 4 prvky jenom prohazuju mezi 20 policky proto, bych rekl, ze permutace, jenomze to mi zase nevychazi pocetne ...
uz z toho pomalu ale jiste magorim .. :D

↑ FlyingMonkey:
Je to typova uloha, podobne budes vidat, viz jak jsem psal ↑ Phate:, tak ti to napisi obecne. Kdyz mam n predmetu a k prihradek do kterych je mam rozdelit, tak hledam jakychsi k-1 prepazek mezi prihradkami. Predstav si, ze mas proste treba tech 20 knih, tak je nejak postavis pred sebe a misto regalu mezi ne nekam vkladas prepazky. Timto si 100% zajistis, ze vsechny knizky rozdelis do nektere prihradky. Dulezite je, ze techto prepazek je k-1. Proc? Protoze vem si, kdybys knihy rozdeloval treba do dvou regalu, tak potrebujes jednu prepazku. Knihy od prepazky doleva budou v jednom regalu, od prepazky doprava v druhe regalu. Prepazek je tedy vzdy k-1. Dulezite je si uvedomit, ze timto hledanim prepazek najdeme vsechny moznosti pro rozdeleni knih do regalu, protoze napriklad moznost, ze vsechny knihy budou v 5. regalu, tak regaly budou na mistech 1-4 a knizky na mistech 5-24. Pokud mame tedy nerozlisitelne predmety, kterych je a prepazek, pak mame moznosti, jak rozdelit prepazky. Krasne na tom je to, ze ze znalosti kombinacnich cisel urcite vis, ze coz je pocet zpusobu, jak rozdelit n predmetu na n+k-1 poli, tedy na vsechna policka pro predmety vcetne poli pro prepazky. No neni ta matematika nadherna? Pokud ovsem mame predmety ocislovane, musime jeste cele cislo vynasobit , protoze to je pocet permutaci vsech rozlisitelnzch predmetu(knih) v regalech. Regaly samozrejme rozlisitelne nejsou. Uz do toho trosku lepe vidis?
EDIT: jestli do te rovnosti neni videt, tak plati, ze , tedy, ze

↑ FlyingMonkey:

Ano, to je správný výsledek a úvahu máš taky dobře. ; ))

↑ Phate:

Když užs to tak pěkně vypsal, mohl bys to hodit třeba na MatWiki, ať se na to dá pro příště odkazovat (je to vskutku typová úloha). ; ))