Matematické Fórum

dasha · 09. 05. 2011 07:03

Dobrý den, mám příklad: Rozhodněte, zda předpis p q = p(0) q(0) + p(1) q (1) určuje skalární součin na P dolní index 1 (x) - prostoru všech polynomů nejvýše 1. stupně nad reálnými čísly. Pokud ano, rozhodněte, zda {x, x- 1} tvoří ortonormální bázi tohoto prostoru vzhledem k uvedenému skalárnímu součinu. Pokud netvoří, ortogonalizujte.

Můžete mi někdo poradit jak na to??

Děkuji

Rumburak

Není těžké provést to přímo z definice skalárního součinu a ortonormality, ale snad bude zajímavější následující úvaha.

Polynom stupně nejvýše 1 (počítaje v to i polynom identicky rovný nule, který nemá stupeň) je jednoznačně určen svými hodnotami
ve dvou různých bodech, např. v bodech 0 a 1.
Snadno lze nahlédnout, že lineární prostor $P_1$ těchto polynomů je isomorfní s prostorem $\mathbb{R}^2$ . Za vhodný isomorfismus $P_1$ na $\mathbb{R}^2$
můžeme vzít zobrazení $F(p) := (u_1, u_2)$ , kde $u_1 := p(0)$ , $u_2 := p(1)$ .

Zbytek plyne z faktu, že předpisem $(u_1, u_2)(v_1, v_2) := u_1v_1 + u_2v_2$ je definován skalární součin v $\mathbb{R}^2$ .

Matematické Fórum

#1 09. 05. 2011 07:03

skalární součin a ortonormalita ...

#2 09. 05. 2011 10:20 — Editoval Rumburak (09. 05. 2011 10:24)

Re: skalární součin a ortonormalita ...

Zápatí