Matematické Fórum

luucciik

potřebovala bych pomoci s výpočetem DR
zadání: y´´+2y´+5y=6sin2x
potřebuji najít obecné řešení a 2 partikulární

nejprve jsem si za y dosadila lambdu a rovnici položila nule (už tady si nejsem jistá, jestli to mohu řešit tímto způsobem)
pak mi vyšly dva kořeny rovnice a to $-1+2i$ a $-1-2i$

a dál už nevím jak postupovat :(

Alivendes

↑ luucciik:
Zdravím, máš to správně, ale tohle je opravdu pouze začátek :)
$y''+2y'+5y=6sin2x$
Charaktersitická rovnice:
$y^2+2y+5=0$ kořeny máš dobře: $y_{12}=-1\pm 2i$

Platí, že pokud charakteristická rovnice má komplexní kořen $a\pm bi$ , tak platí, že fundamentální řešení je:
$y_1=e^{ax} cos {bx}$
$y_2=e^{ax}sin {bx}$
Obecné řešení je potom $C_1y_1+C_2y_2$

Pro naší rovnici tedy platí, že :
$y_1=e^{-x}\cos{2x}$
$y_2=e^{-x}\sin{2x}$
Obecné řešení:
$y=C_1e^{-x}\cos{2x}+C_2e^{-x}\sin{2x}$

Úplným řešením potom můžeme dostat konstanty, se které obvykle bývají vyjádřeny nějakou funkcí, proto snimi musíme zacházet jako s proměnou,odvozování si můžeš najít na internetu:
Musí platit, že:
$C'_1y_1+C'_2y_2=0$
$C'_1y'_1+C'_2y_2'=g(x)$
Tyhle ,,vzorečky získáš tak, že dvakrát derivuješ obecné řešení rovnice.
$y'_1=-e^{-x}\cos{2x}-2e^{-x}\sin{2x}$
$y'_2=-e^{-x}\sin{2x}+2e^{-x}\cos{2x}$
Dostáváme rovnici:
$C'_1e^{-x}\cos{2x}+C'_2e^{-x}\sin{2x}=0$
$C'_1(-e^{-x}\cos{2x}-2e^{-x}\sin{2x})+C'_2(-e^{-x}\sin{2x}+2e^{-x}\cos{2x})=6sin2x$
Máme soustavu rovnic, kterou řešíme pomocí determinantů. resp. crameřího pravidla, kde $C'_1$ a $C'_2$ jsou neznámé.
Potom stačí konstanty integrovat a získáš konečně řešení :o)
hodně štěstí

luucciik · 09. 05. 2011 07:19

↑ Alivendes:
Děkuju za pomoc :)
Nakonec jsem se dostala až k obecnému řešení a teď jak to porovnávám s tím tvým, tak to mám úplně stejně :) Takže supr. Pokusím se pochopit i to, jak se postupuje u těch partikulárních řešení.

A ještě se chci zeptat, jestli neznáš nějakou www stránku, kde bych mohla zadat tuto rovnici a získat přibližný graf funkce.

Cheop · 09. 05. 2011 07:45

↑ luucciik:
Odkaz

Matematické Fórum

#1 07. 05. 2011 12:38 — Editoval luucciik (07. 05. 2011 12:40)

výpočet DR

#2 07. 05. 2011 14:24 — Editoval Alivendes (07. 05. 2011 14:25)

Re: výpočet DR

#3 09. 05. 2011 07:19

Re: výpočet DR

#4 09. 05. 2011 07:45

Re: výpočet DR

Zápatí