Matematické Fórum

koudis · 08. 05. 2011 23:04

Ahoj,
ma mali problem co se tyce elipsy a primky. Mam primku zadanou uhlem, prochazejici stredem 0XY a elipsu s stredem v 0XY. Chci zjistit souradnice bodu, v kterem mi primka protne elipsu.
udelal jsem to tak, ze jsem si z rovnice elipsy udelal funkci a pak to vyresil jako soustavu dvou rovnic, vypocital X a Z .... ale kdesy na internetu jsem nasel, ze souradnice pruseciku se vypocitaji jako
$P_x = a \cdot cos(\alpha)$
$P_y = b \cdot sin(\alpha)$
ale kdyz porovnam vysledky z "internetoveho reseni" s mim, vysledky se (celkem logicky) lisi ... a ted otazka kde je bota, u me ? nebo u internetoveho reseni (pokud je dobre, mohl by tady nekdo hodit i odvozeni )

prikladam i obrazek s mim resenim

OiBobik

↑ koudis:

Mně se to zdá ok.

Nejsou třeba ekvivalentní?

To internetové je totiž určitě správně a ty v tom podle mě taky nemáš chybu. ; ))

koudis · 08. 05. 2011 23:24 — Editoval koudis (08. 05. 2011 23:26)

↑ OiBobik:
tak jestli se ti nejak podari upravit ten vysledek z pruseciku primky a elipsy na "internetove reseni"

.... ale jak to upravit ??

OiBobik · 08. 05. 2011 23:28

↑ koudis:

No tak zaprvé algebraicky vzato ta řešení stejná nejsou - tvoje uvažuje oba průsečíky s danou přímkou, kdežto jejich jen průsečík s jednou polopřímkou (druhé řešení je symetrické k počátku).

Stačí tedy ukázat, že bod P z internetového řešení splňuje tu tvoji výslednou rovnici.

koudis · 08. 05. 2011 23:32 — Editoval koudis (08. 05. 2011 23:39)

↑ OiBobik:
ale to splnuje hodne dalsich jinych rovnic, o kterych vim, ze jsou blbost (krom toho by me zajimalo, jak to splnuji .... ja totiz nemuzu najit shodu mezi mim vysledkem a internetem, taze chybka je nekde u me, jestli rikas, ze internetove je urcite spravne ...) :)
kdyz dosadim do obou reseni stejne hodnoty, mely by prece vyjit stejna cisla ... ?

OiBobik

↑ koudis:

Moje chyba, jejich výsledek není správně, alespoň pokud by mělo platit alfa=fí.

To lze vidět už i jen z toho, že když ty dvě rovnice podělíš, vyjde ti y=(b/a)*tg(alfa)*x.

Kde visí to internetové řešení?

zdenek1 · 09. 05. 2011 08:40

A co takto:
Mějme elipsu $\mathcal E:\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}\ t\in[0;2\pi]$
a přímku $y=\tan \alpha x$ a hledáme průsečík.
Protože leží na přímce i na elipse, bude platit
$b\sin t=\tan\alpha a\cos t$
$\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{a\sin\alpha}{b\cos\alpha}$
tato rovnice má řešení např.
$\sin t=a\sin\alpha$ a $\cos t =b\cos\alpha$

Průsečík je pak $P[ab\cos\alpha;ab\sin\alpha]$

koudis · 09. 05. 2011 12:14

↑ zdenek1:
jasne,
ale co kdyz bude $\alpha = 0$ pak prusecik s elipsou bude mit souradnice $P[ab,0]$ a to je prece blbost, nejvetsi X souradnice by prece mela byt $a$ protoze elipsa je vstredu XY ...

Honzc · 09. 05. 2011 13:03

↑ koudis:
1. Tvůj opsaný vzorec $P_x = a \cdot cos(\alpha)$ a $P_y = b \cdot sin(\alpha)$
jsou vlastně parametrické rovnice elipsy kde $P_x$ má být $x$ a $P_y$ má být $y$ pro parametr $\alpha$ ,
ale rozhodně to nejsou souřadnice průsečíku elipsy s přímkou jdoucí středem elipsy pod úhlem $\alpha$
2. Postup podle Zdenek1 je špatně.
3. Správný výsledek je ten tvůj.
Rekapitulace P[xp,yp]
xp=+-a*b/sqrt(b^2+(a*tg(alfa))^2)
yp=+-a*b/sqrt(a^2+(b*cotg(alfa))^2)

Rumburak

↑ koudis:
Ty vzorce $P_x = a \cdot cos(\alpha)$ , $P_y = b \cdot sin(\alpha)$ jsou zavádějící v tom, že v nich použitý úhel $\alpha$ není obecně totožný
se směrovým úhlem průvodiče.
Tvé řešení je správně, jak již uvedli někteří kolegové.

Matematické Fórum

#1 08. 05. 2011 23:04

elipsa a primka

#2 08. 05. 2011 23:20 — Editoval OiBobik (08. 05. 2011 23:24)

Re: elipsa a primka

#3 08. 05. 2011 23:24 — Editoval koudis (08. 05. 2011 23:26)

Re: elipsa a primka

#4 08. 05. 2011 23:28

Re: elipsa a primka

#5 08. 05. 2011 23:32 — Editoval koudis (08. 05. 2011 23:39)

Re: elipsa a primka

#6 09. 05. 2011 00:34 — Editoval OiBobik (09. 05. 2011 00:41)

Re: elipsa a primka

#7 09. 05. 2011 08:40

Re: elipsa a primka

#8 09. 05. 2011 12:14

Re: elipsa a primka

#9 09. 05. 2011 13:03

Re: elipsa a primka

#10 09. 05. 2011 13:23 — Editoval Rumburak (09. 05. 2011 13:44)

Re: elipsa a primka

Zápatí