Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 09. 05. 2011 12:43
diferencovatelnost vs spojitost
Dobrý den
Můžete mi, prosím, vysvětlit, jaký je vztah mezi diferencovatelností a spojitostí? Nějak tomu nerozumím. Potřeboval bych nějaké selské vysvětlení abych to pochopil. Asi nestačí u zkoušky říct, že aby byla funkce diferencovatelné, musí být spojitá :)
Offline
#2 09. 05. 2011 12:57
- Pavel Brožek
- Místo: Praha
- Příspěvky: 5694
- Škola: Informatika na MFF UK
- Pozice: Student
- Reputace: 194
Re: diferencovatelnost vs spojitost
↑ Choosen:
Kdyby se mě někdo ptal na vztah mezi diferencovatelností a spojitostí, takže řeknu, že pokud je funkce diferencovatelná, pak je nutně spojitá (případně dokážu). Obrácená implikace neplatí, uvedu např. funkci 
, která je spojitá, ale v nule není diferencovatelná.
Offline
#3 09. 05. 2011 12:58
Re: diferencovatelnost vs spojitost
↑ Choosen:
Nevím co studuješ a těžko ti řeknu co ti bude stačit, jestli po vás budou chtít důkazy nebo ne. Když to řekneš, bude to pravda, ale skoro určitě bude následovat otázka, jestli to platí obráceně, tedy jestli může existovat funkce, která je na nějakém intervalu spojitá, ale není na něm diferencovatelná. Může?
Offline
#4 09. 05. 2011 13:45
Re: diferencovatelnost vs spojitost
to LukasM: Funkce, která je na nějakém intervalu spojitá, ale niní diferencovatelné ... hmm ...
Tak to nevím. Ale co třeba Riemanova funkce? Ta je spojitá pro všechna iracionální čísla, ale nebude diferencovatelná (v každém iracionálním bodě), protože hodnota derivace = 0. Je to tak? :( asi ne.
Offline
#5 09. 05. 2011 13:53 — Editoval Rumburak (09. 05. 2011 13:56)
Re: diferencovatelnost vs spojitost
↑ Choosen:
Existuje funkce spojitá na otevřeném intervalu, která nemá derivaci (ani jednpstrannou ať již vlastní či nevlastní) v žádném bodě tohoto intervalu.
Offline
#6 09. 05. 2011 14:10
Re: diferencovatelnost vs spojitost
To Rumburak:
Takže to může být Riemanova funkce?Pokud si za interval vezmi iracionální čísla, pak vím, že Riemanova funkce na daném intervalu je spojitá v každém iracionálním bodě. Ale nebude derivovatelná. Nebo jo? Už se v tom ztrácím. Jaká to tedy bude funkce? Já fakt nevím :(
Offline
#7 09. 05. 2011 15:13 — Editoval Rumburak (09. 05. 2011 15:24)
Re: diferencovatelnost vs spojitost
↑ Choosen:
Pokud o pojmech "spojitost" a "diferencovatelnost" uvažujeme jako o vlastnostech funkce v jednotlivém bodě, pak ano,
Riemannova funkce je takový příklad - v libovolném iracionálním bodě je sice spojitá, ale derivaci tam nemá.
"Pokud si za interval vezmu iracionální čísla": tím máš na mysli, že bychom R. f. definovali pouze na množině Q' všech iracionálních čísel a
derivaci rovněž počítali pouze relativně vzhledem k množině Q' ? Pak by ale Riemannova funkce byla identidky rovna nule a tomu by odpovídala
i její "derivace" rovna nule (mám na mysli derivaci v tomto relativizovaném pojetí).
Ale k osvětlení věci existují i "lepší" funkce, než je Riemannova. Měl jsem na mysli například toto
Offline