Matematické Fórum

Phate · 10. 05. 2011 19:38 — Editoval Phate (10. 05. 2011 20:40)

Chtel bych se zeptat na jednu vec. Pokud hledam extrem v nejake uloze na extremy, pro kterou by vysledne minimum/maximum melo vyjit kladne cislo(napr. zaporny asi nebude obsah nebo nejmensi vzdalenost atp.) a provadim prvni derivaci a mam vyraz, ktery je cely pod odmocninou, mohu pocitat extrem rovnou jen z vyrazu pod odmocninou? Nejake matimaticke zduvodneni? Nevim urcite, jestli to patri jeste do stredni skoly, tak jsem to spis zalozil sem.

OiBobik

↑ Phate:

Jestli tě dobře chápu, tak ano, ale je to dáno tím, že funkce odmocnina je rostoucí (kdyby byla například klesající, pak minimum vnější funkce nastává v bodě, kde má vnitřní funkce maximum; kdyby nebyla monotónní, pak by nám žádná taková úvaha nepomohla). To, že musíš hledat extrém jen na té části definičního oboru, pro nějž je celá funkce definována, je samozřejmé (tedy např. kdybych hledal minimum funkce sqrt(x^4-3000x+15), musím vzít bod, kde je funkční hodnota výrazu pod odmocninou nejméně nulová, ač taková funkce bude mít určitě nějaký záporný lokální extrém).

jelena · 10. 05. 2011 20:42

Zdravím,

provedla jsem pro Tebe výběr z místního folkloru ohledně usnadnění počítaní extrémů ve slovních úlohách (děkuji autorům):

Olinovo jasno a zdůvodnění, že můžeš.

Věta o zamlžení - další usnadnění

Věta o zamlžení zamlžení...

Něco poskytne i tato práce - sbírka úloh.

V každém případě je třeba v těch úlohách rozlišovat - co je proměnná (a má vliv na definiční obor sestavené funkce i derivace) a co je/jsou parametr(y) - tedy uvažovat podmínky řešitelnosti.

Snad na úvod. Ať se vede.

halogan · 10. 05. 2011 20:43

Intuitivní zdůvodnění:

Aplikace druhé odmocniny je rostoucí transformace, tj. pokud máš $a < b$ , pak i $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ , samozřejmě pokud je vše definováno ( $a$ a $b$ nemusí být jen hodnoty, ale i nějaké výrazy). Proto pokud nalezneš extrém nějaké kladné funkce f na otevřeném intervalu I, pak i sqrt(f) bude zde mít extrém.

Matematické zdůvodnění:

Nutná podmínka extrému na otevřeném intervalu pro spojitou a hladkou funkci (stejné předpoklady platí pro derivaci, chci tedy funkci třídy C1) je nulová první derivace. Platí tedy:

$\left(\sqrt{f(x)}\right)' = \frac 12 \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}$

a pokud položíme tento výraz roven nule, musí platit $f'(x) = 0$ , tedy to, co jsme předpokládali.

---

Můžeš si všimnout, že jsem vyslovil spoustu předpokladů (nezápornost, třída C1, ...). To proto, abych si práci co nejvíc zjednodušil, ale určitě to jde dokázat i obecněji a pro nepěknější funkce. S tím ti možná vyhoví kolegové s lepšími znalostmi... pokud tedy vůbec budeš mít zájem.

Phate · 10. 05. 2011 20:58 — Editoval Phate (10. 05. 2011 20:59)

Diky, ↑ jelena: mlzeni je velmi zajimave a tu diplomou praci si zatim necham na dlouhe mlzne zimni vecery :), ↑ halogan: tohle to vysvetluje asi nejlepe, nad necim takovym jsem uvazoval, do uloh o extremech se to urcite hodi, kdyz vime, ze hledame kladne minimum/maximum, tak muzeme pekne zamlzit :). ↑ OiBobik: Takze to muzeme rozsirit nejen o odmocninu ale pro vsechny rostouci funkce(arctg, log...), coz muzu byt celku uzitecne nekdy :)

Matematické Fórum

#1 10. 05. 2011 19:38 — Editoval Phate (10. 05. 2011 20:40)

Otazka na hledani extremu

#2 10. 05. 2011 20:41 — Editoval OiBobik (10. 05. 2011 20:43)

Re: Otazka na hledani extremu

#3 10. 05. 2011 20:42

Re: Otazka na hledani extremu

#4 10. 05. 2011 20:43

Re: Otazka na hledani extremu

#5 10. 05. 2011 20:58 — Editoval Phate (10. 05. 2011 20:59)

Re: Otazka na hledani extremu

Zápatí