Matematické Fórum

Azeret · 10. 05. 2011 23:06

Ahoj,
snažím se dokázat, že pokud mám operátor $\mathbb{A}$ , pak pokud je samozdružený, pak je jeho matice hermitovská.
Myslím, že mým hlavním problémem je jednoduché rozepsání skalárního součinu. Adjungovaný operátor jsme si definovali jako
$(\mathbb{A}v, w)_{W} = (v, \mathbb{A}^{\ast}w)_V$ , kde $\mathbb{A}:V \rightarrow W$ , $\mathbb{A}^{\ast}$ opačně, závorky značí
skalární součin. Pokud je operátor samozdružený, pak $(\mathbb{A}v, w) = (v, \mathbb{A}w)$ , tedy $V$ i $W$ jsou shodné.

Snažím se tedy rozepsat tento vztah $(\mathbb{A}v, w) = (v, \mathbb{A}w)$ , pokud si označím $b_i$ , kde $i = 1,...n$ jako bázi
V, pak
$\mathbb{A}v = \sum_{i =1}^{n}x_i \mathbb{A}(b_i) = \sum_{i=1}^{n} x_i \sum_{j=1}^{n} a_{ji}b_{j} = \sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n} a_{ji}x_i \right)b_j$ ,
kde $x_i$ jsou souřadnice vetoru vůči dané bázi. A teď nevím jak si rozepsat vektor $w$ - nevím jak indexovat sumu - jestli $\sum_{i=1}^{n} x_i b_i$ , nebo pouzit index $j$ popr nejaky uplne jiny?

Myslím, že pokud se to správně rozepíše a vytknu co pujde ven pred skalarni soucin, mela by byt videt, ze matice je hermitovska . .

Díky moc.

Azeret · 11. 05. 2011 19:06

Hodně by mi pomohlo třeba jen rozepsání toho, proč platí $(Av,Av) = (AA^{\ast}v,v)$ . . .
díky . . .

Pavel Brožek · 07. 10. 2011 17:12

↑ Azeret:

Pracujme v ortonormální bázi vektorů $e_i$ (ortonormální vzhledem k zadanému skalárnímu součinu). Rozklad vektorů v a w do báze bude

$v=v_ie_i\nl w=w_ie_i.$

(Einsteinovu sumační konvenci jistě znáš. Všechny indexy píšu dolu, protože to tady není podstatné.)

$(\mathbb{A}v, w)=(v_iA_{ji}e_j,w_ke_k)=v_iA_{ji}w_k^*(e_j,e_k)=v_iA_{ji}w_k^*\delta_{jk}=v_iA_{ji}w_j^*\nl (v,\mathbb{A}w)=(v_ie_i,w_jA_{kj}e_k)=v_iA^*_{kj}w_j^*(e_i,e_k)=v_iA^*_{kj}w_j^*\delta_{ik}=v_iA^*_{ij}w_j^*$

Z $(\mathbb{A}v, w)=(v,\mathbb{A}w)$ plyne $v_iA_{ji}w_j^*=v_iA^*_{ij}w_j^*$ , po úpravě $v_iw_j^*(A_{ji}-A_{ij}^*)=0$ . To musí platit pro všechny vektory v a w, speciálně si tedy vybereme vektory $v=e_a$ , $w=e_b$ (a, b jsou libovolná čísla od 1 do dimenze prostoru), dostáváme tak $A_{ba}-A^*_{ab}=0$ , což jsme chtěli.

Matematické Fórum

#1 10. 05. 2011 23:06

samosdružené operátory - matice

#2 11. 05. 2011 19:06

Re: samosdružené operátory - matice

#3 07. 10. 2011 17:12

Re: samosdružené operátory - matice

Zápatí